Contrôle Corrigé de Mathématiques sur les Primitives - Terminale Spécialité
Ce document propose un sujet de contrôle corrigé complet sur le chapitre des primitives, destiné aux élèves de Terminale en spécialité Mathématiques. D'une durée indicative de 2 heures, cette évaluation est structurée en quatre exercices balayant l'ensemble des compétences clés du chapitre : calculs techniques, utilisation des conditions initiales, analyse graphique et résolution de problèmes de synthèse.
Ce corrigé détaillé est un excellent outil de révision pour préparer le baccalauréat et pour s'assurer de la maîtrise des différentes méthodes de recherche de primitives. Il permet de s'entraîner sur des exercices types et de consolider ses connaissances en analyse de fonction.
Exercice 1 : Maîtrise des techniques de calcul de primitives
Cet exercice de 7 points est un test fondamental sur les techniques de calcul. Il demande de déterminer l'ensemble des primitives pour six fonctions différentes sur des intervalles spécifiés. Les compétences évaluées sont variées :
- Primitives usuelles : La première question aborde les bases avec une fonction polynôme $f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 2x - 5$.
- Primitives de fonctions puissances : La deuxième question complexifie la tâche avec des puissances négatives et fractionnaires : $f(x) = \frac{2}{x^3} - \frac{1}{\sqrt{x}}$.
- Reconnaissance de formes composées : Les questions 3, 4 et 5 nécessitent d'identifier des formes du type $u'(x)u(x)^n$, $\frac{u'(x)}{u(x)^2}$ ou encore $\frac{u'(x)}{u(x)}$. Les fonctions sont respectivement $f(x) = x(x^2+1)^4$, $f(x) = \frac{3}{(x+2)^2}$, et $f(x) = \frac{e^x}{e^x+3}$.
- Décomposition et linéarité : La dernière question demande une étape préliminaire d'algèbre. Il faut d'abord décomposer la fonction rationnelle $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 5}{x-1}$ sous la forme $ax+b+\frac{c}{x-1}$ pour ensuite pouvoir en déduire les primitives plus simplement.
Exercice 2 : Détermination d'une primitive unique avec condition initiale
Cet exercice de 4 points se concentre sur une compétence essentielle : l'unicité d'une primitive. On étudie la fonction $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ sur l'intervalle $]0; +\infty[$.
Les étapes du raisonnement sont guidées :
- Justifier l'existence des primitives en s'appuyant sur la continuité de la fonction sur son intervalle de définition.
- Trouver la famille des primitives $F$ en remarquant que $f(x)$ est de la forme $u'(x)u(x)$, avec $u(x)=\ln(x)$.
- Calculer la constante d'intégration pour déterminer l'unique primitive $G$ qui satisfait la condition initiale $G(e)=2$.
Exercice 3 : Analyse graphique d'une primitive
Noté sur 4 points, cet exercice est un classique qui teste la compréhension profonde du lien entre une fonction et sa primitive, c'est-à-dire la relation $F' = f$. À partir de la courbe représentative $C_f$ d'une fonction $f$, il faut déduire des propriétés de sa primitive $F$.
- Sens de variation de la primitive : En étudiant le signe de $f(x)$ sur le graphique, on en déduit directement les intervalles où $F$ est croissante ou décroissante. Un tableau de variations de $F$ est demandé.
- Convexité et point d'inflexion : En utilisant la relation $F''=f'$, on analyse la convexité de $F$ à partir du sens de variation de $f$. La présence d'une tangente horizontale sur $C_f$ en $x=0$ est une information cruciale qui indique un changement de convexité pour $F$, et donc un point d'inflexion.
Exercice 4 : Problème de synthèse sur les primitives et l'exponentielle
Ce dernier exercice de 5 points est un problème complet qui mêle calculs, raisonnement et analyse de limites. Il s'articule autour de la fonction $f(x) = (x+2)e^{-x}$.
Les questions s'enchaînent logiquement :
- Vérification d'une primitive : Il s'agit de dériver la fonction $H(x)=(-x-3)e^{-x}$ pour prouver qu'elle est bien une primitive de $f$.
- Condition initiale et limite : On cherche la primitive $F$ dont la courbe passe par le point $A(0;-2)$, ce qui revient à fixer la constante. Ensuite, on évalue le comportement de cette primitive à l'infini en calculant sa limite en $+\infty$, un classique avec les fonctions exponentielles.
- Linéarité des primitives : On introduit une nouvelle fonction $g(x) = f(x) - e^{-x}$. Après simplification, il faut utiliser la linéarité pour déduire une primitive de $g$ à partir de celles de $f$ et de $e^{-x}$.