Ce sujet de maths pour la Première spécialité est une évaluation complète d'une heure sur le chapitre des fonctions trigonométriques. Il permet de tester en profondeur la maîtrise du cercle trigonométrique, la résolution d'équations et d'inéquations, ainsi que l'utilisation des formules de trigonométrie. Ce document est un excellent outil de révision, proposant un parcours progressif à travers cinq exercices variés. Idéal pour se préparer à un contrôle, ce sujet avec son corrigé détaillé (non inclus ici) aide à consolider les bases essentielles de la trigonométrie.

Exercice 1 : Maîtrise du cercle trigonométrique

Cet exercice d'introduction vise à évaluer la capacité de l'élève à se repérer sur le cercle trigonométrique. Il est fondamental pour toute la suite du chapitre.

• La première question demande de placer des points sur le cercle trigonométrique. Les angles donnés ne sont pas des mesures principales. Il faut donc d'abord les simplifier. Par exemple, pour l'angle $\frac{17\pi}{3}$, il faut trouver sa mesure principale en soustrayant des multiples de $2\pi$ pour se ramener à un angle dans l'intervalle $]-\pi; \pi]$. Les angles à placer sont : $\frac{\pi}{3}$, $\frac{17\pi}{3}$, $\frac{38\pi}{3}$, et $\frac{50\pi}{3}$.
• La deuxième question est une application directe de la première. Une fois les points correctement placés, il s'agit de donner les valeurs du cosinus et du sinus des angles demandés, comme $\cos(\frac{17\pi}{3})$ ou $\sin(\frac{38\pi}{3})$. Aucune justification n'est requise, la lecture sur le cercle suffit.

Exercice 2 : Application des formules de base

Cet exercice se concentre sur les relations fondamentales de la trigonométrie, notamment la relation entre cosinus et sinus, et les formules des angles associés.

On part d'une information donnée : $\cos x = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

• Il faut d'abord trouver les valeurs possibles de $\sin x$ en utilisant la formule fondamentale $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.
• Ensuite, une contrainte est ajoutée sur l'angle $x$ ($x \in [-\frac{\pi}{2}; 0]$), ce qui permet de déterminer le signe de $\sin x$ et donc de choisir la bonne valeur parmi les deux possibilités trouvées précédemment.
• La dernière partie consiste à compléter des égalités en utilisant les formules d'angles associés, telles que $\cos(-x)$, $\sin(\pi - x)$ ou encore $\cos(\frac{\pi}{2} - x)$. C'est un excellent test de mémorisation et de compréhension de ces formules clés.

Exercice 3 : Résolution d'équations trigonométriques

Le cœur du chapitre est abordé ici : la résolution d'équations trigonométriques. La difficulté réside souvent dans la nécessité de trouver toutes les solutions sur un intervalle imposé, qui n'est pas toujours $[0; 2\pi[$.

Les équations à résoudre sont :

• 1. $\cos(x) = \frac{1}{2}$ sur l'intervalle $]-\pi; \pi]$.
• 2. $2\sin(x) = -1$ sur l'intervalle $[0; 2\pi[$.
• 3. $\sqrt{2}\cos(x) + 1 = 0$ sur l'intervalle $[0; 6\pi[$. Cette question demande une attention particulière à l'intervalle, qui s'étend sur trois tours du cercle.
• 4. $2\sin(x) + \sqrt{3} = 0$ sur l'intervalle $]-2\pi; \pi]$.

Exercice 4 : Résolution d'inéquations trigonométriques

Dans la continuité de l'exercice précédent, celui-ci porte sur la résolution d'inéquations trigonométriques. La méthode implique généralement de résoudre l'équation associée, puis d'utiliser le cercle trigonométrique pour identifier les intervalles de solutions.

Les inéquations à résoudre sont :

• 1. $\cos(x) \ge \frac{1}{2}$ sur $]-\pi; \pi]$.
• 2. $2\sin(x) \le -1$ sur $[0; 2\pi[$.
• 3. $\sqrt{2}\sin(x) + 1 < 0$ sur $[0; 2\pi[$.
• 4. $\sqrt{3}\cos(x) + 2 \ge 0$ sur $]-\pi; \pi]$. Cette dernière inéquation, équivalente à $\cos(x) \ge -\frac{2}{\sqrt{3}}$, est un cas particulier car $-\frac{2}{\sqrt{3}} \approx -1.15$, qui est inférieur à -1. La solution est donc l'ensemble de l'intervalle donné.

Exercice 5 : Synthèse : Simplification et Résolution

Cet dernier exercice est un problème de synthèse qui combine plusieurs compétences. Il faut d'abord simplifier une expression trigonométrique complexe avant de pouvoir résoudre une équation.

L'expression de départ est $A(x) = 3 \sin(\frac{\pi}{2} - x) + 2 \cos x + \cos(3\pi + x) - 2\cos(-x)$.

• La première étape est de démontrer que cette expression se simplifie en $A(x) = 2 \cos x$. Pour cela, il est indispensable de maîtriser les formules des angles associés.
• La deuxième étape est de résoudre l'équation $A(x) = -\sqrt{2}$ sur l'intervalle $]-\pi; \pi]$. Grâce à la simplification, cela revient à résoudre l'équation beaucoup plus simple $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, une compétence travaillée dans l'exercice 3.

En conclusion, ce contrôle de maths pour la classe de Première est un excellent moyen de s'évaluer sur les fondamentaux de la trigonométrie.