Obtenez une analyse détaillée et un corrigé complet de ce contrôle de mathématiques pour la classe de Terminale, spécialité maths. Ce sujet d'une heure porte principalement sur le chapitre des limites de fonctions, avec des applications importantes sur la dérivation et les études de fonctions.

Ce document est une ressource idéale pour les élèves souhaitant s'entraîner et réviser les concepts clés avant une évaluation. Chaque exercice de ce sujet de maths est analysé pour mettre en lumière les compétences et les méthodes de résolution attendues.

Exercice 1 : Limite de référence

Cet exercice de base est un classique pour vérifier la connaissance du cours. Il demande de déterminer et de démontrer la limite de la fonction exponentielle en $+\infty$.

• Question : Déterminer $\lim_{x \to +\infty} e^x$.
• Compétence évaluée : Connaissance des limites usuelles, en particulier la limite de la fonction exponentielle. La démonstration peut faire appel à la définition de la limite ou à des théorèmes de croissance comparée.

Exercice 2 : Asymptotes et théorèmes de comparaison

Cet exercice complet aborde plusieurs aspects des limites de fonctions. Il commence par l'étude d'une fonction rationnelle pour trouver ses asymptotes, puis enchaîne avec des limites plus complexes faisant intervenir les fonctions trigonométriques.

• Question 1 : Pour la fonction $f(x) = \frac{-5x + 20}{-2x + 10}$, il faut démontrer l'existence de deux asymptotes. Cela implique de calculer :
  • La limite en $+\infty$ pour trouver l'asymptote horizontale. La méthode consiste à factoriser par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur.
  • La limite en $5^+$ pour trouver l'asymptote verticale, en étudiant le signe du dénominateur au voisinage de 5.
• Question 2 : Calcul de la limite $\lim_{x \to +\infty} x^2 + 2x \cos(x) + 1$. La présence du terme $\cos(x)$ qui n'a pas de limite en l'infini doit orienter vers l'utilisation du théorème de comparaison. En encadrant $\cos(x)$ entre -1 et 1, on peut minorer l'expression par une fonction qui tend vers $+\infty$.
• Question 3 : Calcul de la limite $\lim_{x \to +\infty} \frac{x + 2 \sin(x)}{x}$. De même, la présence de $\sin(x)$ suggère d'utiliser un encadrement. C'est une application directe du théorème des gendarmes.

Exercice 3 : Dérivation successive

Cet exercice se concentre sur la maîtrise technique du calcul de dérivées, en particulier la dérivée d'un quotient.

• Question : Pour la fonction $f(x) = \frac{3 - x}{x + 1}$, il est demandé de calculer la dérivée seconde, $f''(x)$.
• Méthode : Il faut appliquer une première fois la formule de la dérivée d'un quotient $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ pour obtenir $f'(x)$, puis dériver à nouveau l'expression de $f'(x)$ pour trouver $f''(x)$.

Exercice 4 : Étude d'une fonction exponentielle

Cet exercice est une étude de fonction classique impliquant la fonction exponentielle, couvrant les limites, la dérivation et le tableau de variation.

• Question 1 : Calcul de la limite de $f(x) = (-x + 1)e^{-x+1}$ en $-\infty$. Il s'agit d'une limite d'un produit de deux termes qui tendent vers l'infini, sans forme indéterminée.
• Question 2 : Calcul de la limite de $f$ en 1. La question suggère une réécriture de la fonction qui semble erronée dans l'énoncé. Le calcul direct de la limite $\lim_{x \to 1} (-x + 1)e^{-x+1}$ donne 0. L'intention de l'exercice était probablement d'utiliser une limite de référence liée au nombre dérivé.
• Question 3 : Calcul de la dérivée $f'(x)$. Il faut utiliser la formule de la dérivée d'un produit $(uv)'$ et la formule de la dérivée d'une fonction composée pour le terme exponentiel.
• Question 4 : Établissement du tableau de variation. Après avoir calculé la dérivée, il faut étudier son signe. Le signe de $f'(x) = (x-2)e^{-x+1}$ dépend uniquement du signe de $(x-2)$, car l'exponentielle est toujours positive. Cela permet de déduire les variations de $f$.

Exercice 5 : QCM sur la dérivation

Ce Vrai/Faux évalue rapidement plusieurs compétences essentielles sur la dérivation et ses applications.

• Question 1 : Teste le lien entre nombre dérivé et tangente horizontale. Une tangente est horizontale si et seulement si le nombre dérivé en ce point est nul.
• Question 2 : Vérification d'une formule de dérivée pour une fonction produit incluant une racine carrée.
• Question 3 et 4 : Évaluation de la maîtrise de la dérivation des fonctions composées, que ce soit sous la forme $h(ax+b)$ ou $u(x)^n$.

Ce contrôle corrigé est un excellent outil pour maîtriser le chapitre sur les limites et la dérivation en Terminale Spécialité.