Découvrez notre sujet de contrôle corrigé de mathématiques pour la classe de Seconde, axé sur le chapitre des généralités sur les fonctions. Cette évaluation de 2 heures, complète et progressive, est idéale pour s'entraîner et valider ses connaissances sur l'analyse de fonctions, que ce soit par lecture graphique ou par le calcul. Chaque exercice est conçu pour cibler des compétences clés du programme de Seconde.

Ce sujet de maths aborde en profondeur l'étude de fonctions, notamment les fonctions polynômes du second degré, à travers trois exercices variés :

• Une étude graphique complète.
• Une analyse algébrique détaillée d'une fonction trinôme.
• La résolution d'un problème concret de modélisation.

C'est un support parfait pour réviser avant une évaluation ou pour approfondir sa compréhension des fonctions.

Exercice 1 : Lecture graphique d'une fonction

Cet exercice introductif est un classique de l'étude de fonctions. Il se base entièrement sur l'analyse de la courbe représentative \( C_f \) d'une fonction \( f \) fournie dans un repère orthonormé. L'objectif est de mobiliser les compétences de lecture et d'interprétation graphique.

Les questions posées sont les suivantes :

• Ensemble de définition : La première étape consiste à identifier sur quel intervalle de l'axe des abscisses la fonction est définie.
• Images et antécédents : Il est demandé de déterminer graphiquement des images, comme \( f(-2) \) et \( f(3) \), en se déplaçant de l'axe des abscisses vers la courbe, puis vers l'axe des ordonnées. Inversement, il faut trouver les antécédents de 0 et de 2, ce qui correspond à trouver les points d'intersection de la courbe avec les droites d'équation \( y=0 \) et \( y=2 \).
• Extremums : L'élève doit identifier le maximum et le minimum de la fonction \( f \) sur son ensemble de définition, c'est-à-dire les plus hautes et les plus basses ordonnées atteintes par la courbe.
• Intervalle image : Il s'agit de déterminer l'ensemble de toutes les valeurs prises par \( f(x) \), ce qui se lit sur l'axe des ordonnées.
• Tableau de variations : Pour conclure, il faut synthétiser les informations sur les variations de la fonction (croissance, décroissance) dans un tableau de variations complet.

Exercice 2 : Étude algébrique de fonctions

Le deuxième exercice augmente la difficulté en passant à l'analyse algébrique. Il se concentre sur deux fonctions, une fonction polynôme du second degré \( f(x) = 2x^2 + x - 6 \) et une fonction rationnelle \( h(x) = \frac{x^2 - 4}{1 + x^2} \).

Voici les étapes de l'analyse :

• Calcul d'images : Les premières questions testent la capacité à substituer une valeur dans une expression littérale, y compris avec des nombres comme \( 5 - \sqrt{2} \).
• Forme canonique : Une question clé demande de démontrer que \( f(x) \) peut s'écrire sous la forme canonique \( f(x) = 2\left(x + \frac{1}{4}\right)^2 - \frac{49}{8} \). Cette compétence est fondamentale pour étudier les trinômes.
• Factorisation : À partir de la forme canonique, l'élève est guidé pour factoriser \( f(x) \) en utilisant l'identité remarquable \( a^2 - b^2 \).
• Calcul d'antécédents : Il s'agit de résoudre des équations. Trouver les antécédents de 0 revient à résoudre l'équation du second degré \( f(x) = 0 \), en utilisant la forme factorisée. Trouver les antécédents de \( -\frac{49}{8} \) est immédiat avec la forme canonique.
• Extremum par le calcul : En s'appuyant sur la forme canonique, il faut démontrer que la fonction \( f \) admet un minimum, préciser sa valeur (\( -\frac{49}{8} \)) et la valeur de \( x \) pour laquelle il est atteint.
• Utilisation de la calculatrice et tracé : L'exercice inclut une partie pratique avec la création d'un tableau de valeurs et le tracé de la parabole représentant \( f \).
• Étude de la parité : La dernière partie concerne la fonction \( h \). Il faut démontrer algébriquement qu'elle est paire (c'est-à-dire que \( h(-x) = h(x) \)) et utiliser cette propriété de symétrie pour compléter sa courbe sur l'intervalle \( [-5; 5] \).

Exercice 3 : Problème de modélisation

Ce dernier exercice est un problème concret qui permet d'appliquer les outils d'analyse de fonctions à une situation réelle. Il s'agit d'étudier l'aire d'un logo en fonction d'une dimension variable \( x \).

Le problème se décompose comme suit :

• Mise en équation : La première question consiste à établir l'expression de la fonction \( f \) qui modélise l'aire du logo. Il faut prouver que \( f(x) = 4x^2 - 7x + 6 \) pour \( x \in [0; 1] \).
• Analyse à l'aide des outils numériques : La suite du problème se résout à l'aide de la calculatrice et d'un graphique fourni.
  • On demande de trouver la valeur de \( x \) pour que l'aire soit égale à \( 3,8 \, m^2 \), d'abord par lecture graphique, puis avec plus de précision grâce à la calculatrice. Cela revient à résoudre graphiquement et numériquement l'équation \( f(x) = 3,8 \).
  • On demande ensuite de trouver les valeurs de \( x \) pour lesquelles l'aire est inférieure à \( 2,96 \, m^2 \), ce qui correspond à la résolution de l'inéquation \( f(x) < 2,96 \).

Ce sujet de contrôle de maths sur les fonctions pour la Seconde est un excellent outil pour évaluer la maîtrise des lectures graphiques, des manipulations algébriques sur les polynômes du second degré et de la modélisation.