Découvrez un sujet de contrôle complet pour le niveau Première spécialité en mathématiques, accompagné de son analyse détaillée. Ce devoir de 2 heures couvre trois chapitres essentiels du programme : les polynômes du second degré, les fonctions trigonométriques, et la dérivation locale. C'est une ressource idéale pour s'entraîner, réviser et valider ses acquis. Chaque exercice est décortiqué pour mettre en lumière les compétences à maîtriser.

Exercice 1 : QCM sur les Polynômes du Second Degré

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples qui évalue la capacité à interpréter graphiquement les propriétés d'une fonction polynôme du second degré de la forme \(P(x) = ax^2 + bx + c\). À partir de la parabole représentative, il faut déduire des informations clés.

• Question 1 : Signe de a. La parabole est tournée vers le bas ("concave"), ce qui indique que le coefficient dominant a est négatif.
• Question 2 : Signe du discriminant \(\Delta\). La courbe coupe l'axe des abscisses en deux points distincts, ce qui signifie que l'équation \(P(x) = 0\) admet deux solutions réelles. Par conséquent, le discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\) est strictement positif.
• Question 3 : Valeur de c. Le coefficient c correspond à l'ordonnée à l'origine, c'est-à-dire l'image de 0 par la fonction, \(P(0)\). Il suffit de lire sur le graphique la valeur de la fonction lorsque x=0.
• Question 4 : Valeur de \(a+b+c\). Cette expression correspond à l'image de 1 par la fonction, \(P(1)\). On lit directement sur le graphique l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 1.

Exercice 2 : Trigonométrie fondamentale

Cet exercice teste les savoir-faire de base en trigonométrie, de la conversion d'angles à la résolution d'équations.

• Question 1 : Conversion degrés/radians. Il s'agit de convertir un angle de \(144^\circ\) en radians, en utilisant la relation de proportionnalité \(\pi \text{ rad} = 180^\circ\).
• Question 2 : Angles associés et formules. À partir de la valeur de \(\cos(\frac{\pi}{5})\), il faut :
  • (a) Déduire \(\cos(\frac{4\pi}{5})\) en utilisant la propriété des angles supplémentaires \(\cos(\pi - x) = -\cos(x)\).
  • (b) Calculer la valeur exacte de \(\sin(\frac{\pi}{5})\) grâce à la relation fondamentale \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\).
• Question 3 : Résolution d'équation. Il faut résoudre l'équation \(\cos(3x) = \frac{1}{2}\) dans l'intervalle \(]-\pi; \pi]\). La méthode consiste à poser \(X=3x\), résoudre \(\cos(X) = \frac{1}{2}\), exprimer les solutions pour x, puis ne conserver que celles appartenant à l'intervalle imposé.

Exercice 3 : Étude d'une fonction trigonométrique

L'objectif est d'analyser en profondeur la fonction \(f(x) = 3\cos(5x) - \sin^2(5x)\).

• Question 1 : Périodicité. Pour montrer que la fonction est \(\frac{2\pi}{5}\)-périodique, il faut calculer \(f(x + \frac{2\pi}{5})\) et vérifier que l'on retombe bien sur \(f(x)\).
• Question 2 : Parité. L'étude de la parité se fait en calculant \(f(-x)\). Sachant que la fonction cosinus est paire et que le carré rend la fonction sinus paire, on peut conclure que f est une fonction paire.
• Question 3 : Résolution d'équation complexe. Pour résoudre \(f(x) = -3\), l'astuce consiste à utiliser \(\sin^2(5x) = 1 - \cos^2(5x)\) pour se ramener à une équation du second degré d'inconnue \(X = \cos(5x)\).
• Question 4 : Existence de solutions. On étudie si l'équation \(f(x) = -5\) peut avoir des solutions en analysant les valeurs possibles de \(f(x)\), sachant que \(-1 \le \cos(5x) \le 1\).

Exercice 4 : Problème d'optimisation avec polynôme

Cet exercice est un problème concret de géométrie qui se modélise par une fonction du second degré. Le but est de trouver l'aire minimale d'un quadrilatère.

• Questions 1-3 : Modélisation. Il s'agit de mettre en équation l'aire du quadrilatère MNPQ en fonction de la variable x. L'aire \(A(x)\) s'obtient en soustrayant l'aire des quatre triangles rectangles des coins à l'aire totale du rectangle, menant à l'expression \(A(x) = 2x^2 - 8x + 15\).
• Question 4 : Recherche de l'extremum. L'aire est une fonction polynôme du second degré. Son minimum est atteint au sommet de la parabole, dont l'abscisse est donnée par la formule \(x = -\frac{b}{2a}\).
• Question 5 : Résolution d'équation du second degré. On cherche la valeur de x pour laquelle l'aire est égale à 11 cm². Cela revient à résoudre l'équation \(2x^2 - 8x + 15 = 11\).

Exercice 5 : Dérivation locale et interprétation graphique

Le dernier exercice se concentre sur la définition du nombre dérivé et son lien avec la tangente à une courbe. La fonction étudiée est \(f(x) = \frac{1}{x+2}\).

• Question 1 : Dérivabilité en un point. Il faut utiliser la définition du nombre dérivé en calculant la limite du taux d'accroissement en \(x = -3/2\). Cela demande une bonne maîtrise des calculs de limites.
• Question 2 : Vérification. Une simple application de la formule de la dérivée de la fonction inverse, \(f'(a) = -\frac{1}{(a+2)^2}\), permet de confirmer le résultat précédent.
• Question 3 : Lecture graphique du nombre dérivé. Le nombre dérivé en un point est le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point. Il faut donc lire graphiquement la pente de la tangente tracée et s'assurer de sa cohérence avec la valeur calculée.