Exercice 1 : Étude complète d'une fonction rationnelle

Le premier exercice de ce contrôle de mathématiques pour la classe de Terminale Spécialité porte sur l'analyse détaillée d'une fonction rationnelle. La fonction étudiée est définie par \( f(x) = \frac{x^2 + x - 1}{x + 2} \) sur l'ensemble \( \mathbb{R} \setminus \{-2\} \). Cet exercice est un classique qui permet de balayer de nombreuses compétences essentielles du chapitre sur la dérivation et les limites.

• Calcul des limites et asymptotes : La première question demande d'étudier les limites de \( f \) aux bornes de son ensemble de définition, c'est-à-dire en \( +\infty \), \( -\infty \), et de part et d'autre de la valeur interdite -2. Cette étude mène à l'identification d'une asymptote verticale d'équation \( x = -2 \).
• Décomposition de la fonction : Il est ensuite demandé de montrer que la fonction peut s'écrire sous la forme \( f(x) = ax + b + \frac{c}{x+2} \). Cette forme est plus pratique pour l'étude du comportement asymptotique de la fonction. La détermination des réels \( a, b, c \) se fait par identification ou par division euclidienne de polynômes.
• Asymptote oblique : La troisième question se concentre sur la mise en évidence d'une asymptote oblique. En étudiant la limite de la différence \( f(x) - (x-1) \) en l'infini, on démontre que la droite \( \Delta \) d'équation \( y = x-1 \) est une asymptote oblique à la courbe \( C_f \).
• Tableau de variation : Pour dresser le tableau de variation de \( f \), il est nécessaire de calculer sa fonction dérivée \( f'(x) \) en utilisant la formule de dérivation d'un quotient. L'étude du signe de cette dérivée permet ensuite de déterminer les intervalles où la fonction est croissante ou décroissante, ainsi que ses extrema locaux.
• Représentation graphique : La dernière question est une synthèse de l'étude. Il faut tracer la courbe \( C_f \) dans un repère, en faisant figurer les asymptotes (verticale et oblique) et en respectant les variations de la fonction déterminées précédemment.

Exercice 2 : Analyse d'une fonction avec exponentielle

Le deuxième exercice aborde l'étude d'une fonction faisant intervenir l'exponentielle, définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = (ax^2 + bx + c)e^{-x} \). La particularité de cet exercice est qu'il faut utiliser des informations graphiques (une courbe représentative et un tableau de variation partiel) pour mener l'analyse.

• Détermination de paramètres par lecture graphique : La première question consiste à trouver les valeurs des réels \( a, b, c \). Pour ce faire, on exploite les informations données : les coordonnées de points appartenant à la courbe, comme \( C(-1, 0) \) et \( B(0, 1) \), et l'existence d'une tangente horizontale en \( x = -1 \) (information donnée par \( f'(-1)=0 \) dans le tableau de variation). Cela conduit à un système de trois équations à trois inconnues à résoudre.
• Étude des variations : Une fois l'expression complète de \( f(x) \) trouvée, il faut compléter le tableau de variation. Cela implique de calculer les limites de la fonction en \( +\infty \) et \( -\infty \), en utilisant notamment les théorèmes de croissance comparée, et de justifier le signe de la dérivée \( f'(x) \) sur \( \mathbb{R} \).
• Position relative de la courbe et d'une tangente : La dernière partie de l'exercice se concentre sur un point clé du chapitre : la position relative d'une courbe par rapport à l'une de ses tangentes. Il est demandé de :
  • Donner l'équation de la tangente \( T \) à \( C_f \).
  • Justifier que l'étude de la position relative (c'est-à-dire le signe de \( f(x) - y_T \)) revient à étudier le signe d'une expression particulière.
  • Mener l'étude de signe d'une fonction auxiliaire pour finalement conclure si la courbe \( C_f \) est au-dessus ou en dessous de sa tangente. Cette démarche est un excellent entraînement à la construction d'un raisonnement complexe.

Ce sujet de contrôle est un excellent outil de révision pour les élèves de Terminale en spécialité mathématiques. Il couvre de manière exhaustive les techniques d'étude de fonctions, des calculs de limites et de dérivées à l'interprétation graphique, en passant par la résolution de problèmes plus théoriques comme l'étude de la position relative d'une courbe et de sa tangente.