Découvrez notre sujet de contrôle complet sur le raisonnement par récurrence et les suites numériques, niveau Terminale spécialité maths. Ce document est un outil pédagogique essentiel pour s'entraîner et maîtriser l'un des chapitres les plus importants du programme. Chaque exercice est conçu pour tester une facette spécifique du raisonnement par récurrence : démonstration de formule explicite, preuve d'égalité avec des sommes, démonstration d'inégalité (suite majorée/minorée) et même la formulation de conjectures. Ce contrôle corrigé vous guidera pas à pas dans la rédaction rigoureuse exigée pour le Baccalauréat.
Ce sujet de maths aborde en profondeur les compétences suivantes :
- La structure du raisonnement par récurrence (initialisation, hérédité, conclusion).
- L'application de la récurrence à différents types de suites (arithmético-géométriques, etc.).
- La manipulation d'expressions algébriques, de sommes et d'inégalités dans l'étape d'hérédité.
- La capacité à calculer les premiers termes d'une suite pour en conjecturer la forme générale.
Exercice 1 : Démonstration de la forme explicite d'une suite arithmético-géométrique
Cet exercice introduit une suite \((z_n)\) définie par son premier terme \(z_0 = 6\) et sa relation de récurrence \(z_{n+1} = 4z_n - 5\). L'objectif est de démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), l'expression explicite de la suite est :
$$ z_n = \frac{5 + 13 \cdot 4^n}{3} $$
Il s'agit d'une application directe et fondamentale du raisonnement par récurrence. Vous devrez :
- Initialisation : Vérifier que la formule est vraie pour \(n=0\).
- Hérédité : Supposer que la propriété est vraie pour un certain rang \(n\) (l'hypothèse de récurrence), et démontrer qu'elle reste vraie au rang \(n+1\). Cette étape cruciale demande de partir de l'expression de \(z_{n+1}\) et d'utiliser l'hypothèse de récurrence pour aboutir à la formule souhaitée au rang \(n+1\).
Exercice 2 : Récurrence appliquée à une somme de termes
Le deuxième exercice augmente la complexité en demandant de prouver une égalité impliquant une somme. On définit la suite \((T_n)\) pour \(n \ge 1\) par :
$$ T_n = \sum_{k=1}^{n} (3k + 1)^2 $$
La tâche est de démontrer par récurrence que cette somme est égale à la formule suivante :
$$ T_n = \frac{n(6n^2 + 15n + 11)}{2} $$
Cet exercice teste votre capacité à manipuler le symbole somme \(\Sigma\) dans une preuve par récurrence. L'astuce dans l'étape d'hérédité consiste à exprimer \(T_{n+1}\) en fonction de \(T_n\) : \(T_{n+1} = T_n + (3(n+1)+1)^2\). Il faut ensuite utiliser l'hypothèse de récurrence sur \(T_n\) et développer l'expression pour montrer qu'elle correspond bien à la formule au rang \(n+1\).
Exercice 3 : Preuve de la forme explicite d'une suite non-classique
Cet exercice porte sur une suite \((w_n)\) définie par \(w_0 = 3\) et la relation \(w_{n+1} = w_n + 3n + 4\). Le but est de prouver par récurrence que son expression explicite est un polynôme du second degré :
$$ w_n = \frac{3}{2}n^2 + \frac{5}{2}n + 3 $$
Comme pour l'exercice 1, il s'agit de valider une formule explicite. La difficulté réside dans les calculs algébriques lors de l'étape d'hérédité, où il faudra développer et réarranger les termes pour faire apparaître le polynôme au rang \(n+1\). C'est un excellent entraînement à la rigueur calculatoire.
Exercice 4 : Démontrer un encadrement de suite par récurrence
Cet exercice aborde une autre application clé de la récurrence : la démonstration d'inégalités. On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = -\sqrt{3}\) et \(u_{n+1} = \frac{1}{4}u_n - 1\). Il faut démontrer que pour tout entier naturel \(n\), la suite est bornée :
$$ -2 \le u_n \le -0.5 $$
La preuve se fait en deux temps dans l'hérédité : on démontre séparément la minoration et la majoration. En supposant que l'encadrement est vrai au rang \(n\), on applique les opérations de la relation de récurrence (multiplier par \(\frac{1}{4}\) puis soustraire 1) pour obtenir un nouvel encadrement pour \(u_{n+1}\) et vérifier qu'il est bien inclus dans l'encadrement initial. Cet exercice met en évidence l'importance de l'étude du sens de variation de la fonction associée \(f(x) = \frac{1}{4}x - 1\).
Exercice 5 : Calcul, conjecture et démonstration
Le dernier exercice est le plus complet. Il guide l'élève à travers le processus complet de l'étude d'une suite. Soit la suite \((v_n)\) définie par \(v_1 = 1\) et, pour \(n \ge 1\):
$$ v_{n+1} = \frac{v_n}{\sqrt{v_n^2+1}} $$
Le problème est découpé en trois étapes :
- Calcul : Calculer les premiers termes \(v_2\) et \(v_3\) pour "sentir" le comportement de la suite.
- Conjecture : À partir des valeurs calculées, proposer une formule explicite simple pour \(v_n\) en fonction de \(n\).
- Démonstration : Prouver la conjecture établie à l'étape précédente en utilisant un raisonnement par récurrence.
Cet exercice est excellent car il reflète la démarche mathématique : l'expérimentation mène à une intuition (la conjecture), qui doit ensuite être validée par une preuve rigoureuse. C'est un problème type bac qui valorise à la fois le calcul, l'intuition et la capacité de démonstration.