2. Écrire une propriété au rang n+1

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir une étape extrêmement importante quand vous faites votre récurrence. C'est l'étape qui consiste à écrire \(P(N)\) plus votre hypothèse de récurrence au rang \(n+1\). Comme indiqué dans la fiche, vous voyez que quand vous allez faire la récurrence de votre hypothèse, il va falloir passer d'une propriété au rang \(N\) à une propriété au rang \(N+1\). Par exemple, le \(n\)-ième élève de cours Galilée est arrivé, le \(n+1\)-ième élève de cours Galilée est arrivé. Comment ça se passe en termes de suite?

Exemple 1

Par exemple, si ce que vous essayez de démontrer c'est \(u_n = 3^{l/2(n+1)}\), comment allez-vous passer cette propriété au rang \(n+1\)? Vous allez dire si ma propriété c'est de dire ça, alors ma propriété au rang \(n+1\), c'est à dire la même chose en remplaçant \(n\) par \(n+1\). Autrement dit, ce que je veux démontrer c'est que \(u_{n+1}\) est égal à \(3^{l/2(n+2)}\). Donc, \(3^{l/2(n+2)} = 3^{l/2(n+1)} + l/2\). Et si je veux maintenant, je peux développer en disant que \(3^{l/2(n+2)} = 3^{l/2(n+1)} + l\). Et là, j'ai bien ma propriété qui est donnée au rang \(n+1\).

Exemple 2

Un deuxième classique, c'est que si vous voulez montrer qu'une suite est croissante, vous allez avoir \(P(N)\) qui sera \(u_{n+1} > u_n\). À quoi vous devrez arriver dans votre fiche? Là, quand vous ferez votre récurrence, la partie à laquelle vous devrez arriver, ça sera de dire que le terme suivant donc \(u_{n+2}\) est plus grand que \(u_{n+1}\). J'ai remplacé \(n+1\) par \(n+2\). Donc, \(n+1 + 1 = n+2\) et c'est fait.

Exemple 3

Troisième cas, le classique de la somme. Comment est-ce que je fais pour arriver à ma proposition \(n+1\) comme ma proposition \(n\) c'est ça : \(1 + 2 + 3 + \ldots + n + (n+1) = \frac{n(n+1)}{2}\). Le côté droit, ça va être facile parce que mon \(\frac{n(n+1)}{2}\) j'ai juste à remplacer \(n\) par \(n+1\), donc ça me fait \(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\). Et pour le côté gauche, je faisais la somme de \(1\) jusqu'à \(n+1\). Donc si je veux augmenter d'un rang, je vais faire la somme non pas jusqu'à \(n+1\) mais jusqu'à \(n+2\). Donc ça va être \(1 + 2 + 3 + \ldots + (n+1) + (n+2)\). Mais ne vous trompez pas, ce qu'il y avait avant le \(n+2\) c'était \(n+1\), et ce qu'il y avait avant le \(n\) c'était \(n-1\), et ainsi de suite.

Conclusion

On va toutes se les reprendre dans des démonstrations par récurrence et moi j'aimerais vraiment que vous fassiez l'effort de vous entraîner sur les exercices qu'on vous a mis en dessous et de rentrer des propositions par récurrence qu'on puisse voir si vous avez compris ou pas. À vous de jouer, vous êtes des champions.