Ce document propose un sujet de contrôle corrigé de mathématiques pour le niveau Terminale spécialité. Cette évaluation d'une heure, axée sur le chapitre des études de suites, aborde des compétences essentielles telles que le raisonnement par récurrence, le calcul de limites, et l'analyse du comportement global d'une suite. C'est un excellent support pour s'entraîner et valider ses connaissances avant un examen. Chaque exercice est analysé en détail pour une compréhension optimale des méthodes et des concepts clés. Mots clés : Contrôle corrigé, Sujet de maths, Terminale spécialité, Étude de suites, Raisonnement par récurrence, Limites de suites, Monotonie, Convergence.

Exercice 1 : Vrai ou Faux sur les Limites et Variations de Suites

Cet exercice de type Vrai/Faux teste la compréhension profonde des définitions et des théorèmes fondamentaux sur les suites numériques. Chaque affirmation nécessite une justification rigoureuse, pénalisant l'absence de raisonnement.

• Affirmation 1 : "Si \( (u_n) \) est une suite telle que \( n \ge 35 \) alors \( \lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty \)". Cette affirmation est fausse. La condition \( n \ge 35 \) ne concerne que les indices de la suite et ne donne aucune information sur les valeurs des termes \( u_n \) ou leur comportement à l'infini. Une bonne justification reposerait sur un contre-exemple, comme une suite constante.
• Affirmation 2 : "Si \( \lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty \) et \( \lim_{n \to +\infty} v_n = 0 \) avec \( v_n > 0 \), alors \( \lim_{n \to +\infty} u_n v_n = +\infty \)". C'est une erreur classique concernant la forme indéterminée \( " \infty \times 0 " \). L'affirmation est fausse. Pour le prouver, il suffit de trouver un contre-exemple, par exemple \( u_n = n^2 \) et \( v_n = \frac{1}{n^3} \), où le produit tend vers 0.
• Affirmation 3 : "La suite \( (p_n) \) définie par \( p_n = n^2 - 42n + 4 \) est strictement décroissante". Pour étudier le sens de variation, on peut analyser le signe de \( p_{n+1} - p_n \) ou, plus efficacement, étudier la fonction associée \( f(x) = x^2 - 42x + 4 \). Cette fonction polynôme du second degré admet un minimum en \( x = -\frac{-42}{2 \times 1} = 21 \). La suite est donc décroissante jusqu'au rang 21, puis croissante. L'affirmation est donc fausse.
• Affirmation 4 : "La suite \( (w_n) \) définie par \( w_n = -3n + 4 \) est majorée par 4". Il s'agit d'une suite arithmétique de raison \( r = -3 < 0 \), elle est donc strictement décroissante. Son premier terme est \( w_0 = 4 \). Par conséquent, pour tout entier naturel \( n \), \( w_n \le w_0 \), soit \( w_n \le 4 \). L'affirmation est vraie.

Exercice 2 : Raisonnement par Récurrence et Calcul de Limites

Cet exercice se divise en deux questions indépendantes, l'une portant sur une démonstration par récurrence et l'autre sur le calcul de limites de suites de formes variées.

1. Démonstration par récurrence : On considère la suite \( (u_n) \) définie par \( u_0 = 0 \) et \( u_{n+1} = 3u_n - 2 \). Il faut démontrer par récurrence que la forme explicite est \( u_n = 1 - 3^n \). C'est une application directe du raisonnement par récurrence :
   • Initialisation : On vérifie que la formule est vraie pour \( n=0 \). \( u_0 = 1 - 3^0 = 1 - 1 = 0 \). C'est vérifié.
   • Hérédité : On suppose que \( u_k = 1 - 3^k \) pour un certain entier \( k \ge 0 \). On doit montrer que \( u_{k+1} = 1 - 3^{k+1} \). En partant de la définition récurrente : \( u_{k+1} = 3u_k - 2 = 3(1 - 3^k) - 2 = 3 - 3 \times 3^k - 2 = 1 - 3^{k+1} \). L'hérédité est prouvée.
   • Conclusion : La propriété est vraie pour tout entier naturel \( n \).
2. Calcul de limites : Cette partie évalue la maîtrise des opérations sur les limites.
   • a) \( u_n = \frac{3 - \frac{1}{n^2}}{n+1} \). Le numérateur tend vers 3 et le dénominateur vers \( +\infty \). Par quotient, la limite est 0.
   • b) \( v_n = 3n^2 - 8n + 1 \). C'est une suite polynômiale. Sa limite est celle de son terme de plus haut degré, \( 3n^2 \), qui tend vers \( +\infty \).
   • c) \( t_n = (n^2 - \frac{3}{n^2})(6-n) \). Le premier facteur \( (n^2 - \frac{3}{n^2}) \) tend vers \( +\infty \). Le second facteur \( (6-n) \) tend vers \( -\infty \). Par produit, la limite est \( -\infty \).

Exercice 3 : Étude Complète d'une Suite Récurrente

L'exercice final est une étude approfondie d'une suite de la forme \( u_{n+1} = f(u_n) \), où \( f(x) = \frac{3-x}{8-5x} \). L'objectif est de déterminer le comportement global de la suite \( (u_n) \).

1. Conjecture à la calculatrice : La première étape consiste à calculer les premiers termes (\( u_1, u_2, u_3 \)) pour conjecturer le sens de variation. On trouve que la suite semble être décroissante et converger vers une valeur.
2. Étude de la fonction associée : Pour formaliser l'étude, on analyse la fonction \( f \). Il faut calculer sa dérivée \( f' \). En utilisant la formule de dérivation d'un quotient, on trouve \( f'(x) = \frac{7}{(8-5x)^2} \). Comme le numérateur et le dénominateur (un carré) sont positifs, \( f'(x) > 0 \) sur son domaine de définition. La fonction \( f \) est donc strictement croissante.
3. Démonstration par récurrence : La question clé est de démontrer par récurrence que, pour tout \( n \), on a l'encadrement \( 0 \le u_{n+1} \le u_n \le 1 \). Cette démonstration combine les résultats précédents. L'hérédité s'appuie sur le fait que la fonction \( f \) est croissante : si \( 0 \le u_n \le 1 \), alors \( f(0) \le f(u_n) \le f(1) \), ce qui permet d'encadrer \( u_{n+1} \).
4. Conclusion sur la convergence : La démonstration précédente établit que la suite \( (u_n) \) est décroissante (\( u_{n+1} \le u_n \)) et minorée par 0. D'après le théorème de la limite monotone (ou théorème de convergence monotone), toute suite décroissante et minorée est convergente. On peut donc en déduire que la suite \( (u_n) \) admet une limite finie.

Ce contrôle de mathématiques est un excellent exemple des compétences attendues en Terminale spécialité sur le chapitre des suites. Il mêle raisonnement, technique de calcul et application de théorèmes majeurs.