Ce document est un contrôle corrigé de mathématiques pour le niveau Terminale spécialité, axé sur le chapitre de la géométrie dans l'espace. Le sujet, d'une durée d'une heure, est composé de quatre exercices qui évaluent la maîtrise des vecteurs, des droites, des plans, de leurs positions relatives et de la construction de sections de solides.
Ce corrigé détaillé est une ressource idéale pour les élèves souhaitant s'entraîner et approfondir leur compréhension des concepts clés de la géométrie vectorielle, comme la relation de Chasles, la colinéarité et la coplanarité.
Exercice 1 : Étude d'un cube
Le premier exercice se déroule dans un cube $ABCDEFGH$. On y définit deux points $M$ et $J$ par les relations vectorielles $\vec{DM} = \frac{1}{3}\vec{DC}$ et $\vec{BJ} = \frac{2}{3}\vec{BC}$.
- La première question demande de démontrer une égalité vectorielle : $\vec{HM} = \vec{GJ} - \frac{1}{3}\vec{GE}$. Pour y parvenir, il est essentiel de maîtriser la relation de Chasles afin de décomposer les vecteurs et de les exprimer en fonction d'une base de l'espace (par exemple $(\vec{DA}, \vec{DC}, \vec{DH})$).
- La seconde question consiste à déduire la position relative de la droite $(HM)$ et du plan $(EGJ)$. L'égalité précédente montre que le vecteur $\vec{HM}$ est une combinaison linéaire des vecteurs $\vec{GJ}$ et $\vec{GE}$, qui dirigent le plan $(EGJ)$. On en conclut que la droite $(HM)$ est parallèle au plan $(EGJ)$.
Exercice 2 : Alignement et intersection dans un cube
Cet exercice continue l'exploration du cube $ABCDEFGH$ avec trois points $I, J, K$ définis comme milieux ou par des relations vectorielles. L'objectif est de démontrer des propriétés géométriques et de construire des intersections.
- La première partie porte sur l'alignement de points. Après avoir construit le point $L$, symétrique de $H$ par rapport à $G$, il faut montrer que les points $E, K$ et $L$ sont alignés. La méthode consiste à montrer que les vecteurs $\vec{EK}$ et $\vec{EL}$ sont colinéaires.
- La deuxième partie se concentre sur l'intersection de droites et de plans. Il faut d'abord prouver que les droites $(IJ)$ et $(EH)$ sont sécantes, ce qui implique de vérifier qu'elles sont coplanaires mais non parallèles. Ensuite, on en déduit l'intersection des plans $(IJK)$ et $(EFG)$, qui est une droite passant par le point $K$ et le point d'intersection $P$ précédemment trouvé.
Exercice 3 : Propriétés vectorielles dans un tétraèdre
Cet exercice change de solide pour un tétraèdre $ABCD$. Il s'agit d'utiliser les vecteurs pour déterminer la nature de quadrilatères et la position relative d'une droite et d'un plan.
- Après avoir placé les points, il est demandé de déterminer la nature des quadrilatères $MCEF$ et $ADEN$. Pour $ADEN$, la relation $\vec{AN} = \vec{DE}$ permet de conclure directement qu'il s'agit d'un parallélogramme.
- Une nouvelle égalité vectorielle, $\vec{DN} - 2\vec{DF} = \vec{CE}$, doit être démontrée, en utilisant une fois de plus intensivement la relation de Chasles.
- Finalement, cette égalité permet de déduire que la droite $(CE)$ est parallèle au plan $(DNF)$, car le vecteur $\vec{CE}$ s'exprime comme une combinaison linéaire de deux vecteurs directeurs du plan, $\vec{DN}$ et $\vec{DF}$.
Exercice 4 : Construction d'une section de pavé
L'exercice le plus long est un problème de construction classique : déterminer la section d'un pavé droit par un plan $(IJK)$.
La résolution se fait étape par étape, face par face :
- On commence par tracer la section sur la face du dessous $(ABCD)$, qui est le segment $[IJ]$.
- On trouve ensuite l'intersection de la droite $(IJ)$ (dans le plan du sol) avec la droite $(AD)$. Ce point d'intersection, $L$, appartient au plan de section $(IJK)$ mais aussi au plan de la face latérale $(AEHD)$.
- En reliant $L$ au point $K$ (qui est sur la même face), on obtient la trace du plan de section sur la face $(AEHD)$.
- La construction se poursuit en utilisant les points d'intersection avec les arêtes et les règles de parallélisme : l'intersection du plan sécant avec deux faces parallèles du pavé donne deux segments parallèles. Cet exercice synthétise de nombreuses compétences en vision dans l'espace et en construction géométrique.