Découvrez notre sujet corrigé de BAC Blanc de mathématiques pour la classe de Terminale spécialité. Ce devoir surveillé de 4 heures est un excellent entraînement pour l'épreuve finale du baccalauréat. Il est composé de quatre exercices indépendants balayant une grande partie du programme : les suites numériques, les probabilités, la géométrie dans l'espace et l'étude complète d'une fonction. Ce corrigé détaillé vous permettra de vérifier vos connaissances et de vous préparer efficacement.
Exercice 1 : Étude d'une suite arithmético-géométrique (5 points)
Cet exercice se concentre sur l'analyse d'une suite $(u_n)$ définie par récurrence par la relation $u_{n+1} = 0,85u_n + 150$ avec un premier terme $u_0 = 10000$. Ce type de suite, dit arithmético-géométrique, est un grand classique du baccalauréat.
- Raisonnement par récurrence : La première étape consiste à démontrer par récurrence que la suite est minorée, ici que $u_n > 1000$ pour tout entier naturel $n$.
- Sens de variation et convergence : Il est ensuite demandé d'étudier le sens de variation de la suite (en montrant qu'elle est décroissante) et d'en déduire sa convergence, en application du théorème de la limite monotone.
- Suite auxiliaire géométrique : Pour trouver la forme explicite de $(u_n)$, l'exercice guide vers l'introduction d'une suite auxiliaire $(v_n)$ définie par $v_n = u_n - 1000$. Il faut démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique, trouver sa raison et son premier terme.
- Expression explicite et limite : Grâce à la suite auxiliaire, on en déduit l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, soit $u_n = 1000 + 9000 \times 0,85^n$, ce qui permet de calculer facilement sa limite en $+\infty$.
- Mise en situation : L'exercice se termine par un problème concret modélisant l'évolution du nombre d'abonnés d'une influenceuse, permettant d'appliquer les résultats mathématiques à une situation réelle.
Exercice 2 : Probabilités conditionnelles et lois de probabilité (5 points)
Le deuxième exercice est un problème de probabilités sur le thème du filtrage des spams. Il mobilise les notions d'arbres pondérés, de probabilités conditionnelles et de la loi binomiale.
- Arbre pondéré et probabilités totales : La première question demande de modéliser la situation à l'aide d'un arbre de probabilités, puis de calculer la probabilité d'une intersection et d'utiliser la formule des probabilités totales pour trouver $P(I)$.
- Probabilité conditionnelle inverse : Il s'agit ensuite de calculer une probabilité "a posteriori", c'est-à-dire la probabilité qu'un mail soit un spam sachant qu'il a été classé comme indésirable, $P_I(S)$.
- Loi binomiale : La suite de l'exercice introduit une variable aléatoire $Z$ qui suit une loi binomiale, correspondant à un tirage avec remise. Il faut identifier ses paramètres ($n=100$ et $p=0,07$) et calculer une probabilité du type $P(Z \ge 4)$.
- Algorithmique : La dernière question propose de déterminer le nombre minimal de mails à choisir pour que la probabilité d'avoir au moins un spam soit supérieure à un seuil (0,99). Cela implique la résolution d'une inéquation et l'interprétation d'un algorithme en Python.
Exercice 3 : Géométrie dans l'espace (QCM) (5 points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM) qui évalue les connaissances fondamentales en géométrie vectorielle et analytique dans l'espace. Les questions portent sur les droites et les plans.
- Appartenance d'un point à une droite : Vérifier si les coordonnées d'un point satisfont la représentation paramétrique d'une droite.
- Vecteur directeur : Identifier un vecteur directeur d'une droite à partir de sa représentation paramétrique.
- Position relative de deux droites : Déterminer si deux droites sont sécantes, parallèles, confondues ou non coplanaires en comparant leurs vecteurs directeurs et en cherchant un point d'intersection.
- Parallélisme droite-plan : Trouver une condition sur un paramètre $m$ pour qu'une droite soit parallèle à un plan, ce qui se traduit par l'orthogonalité du vecteur directeur de la droite $\vec{d}$ et du vecteur normal au plan $\vec{n_P}$ (produit scalaire nul : $\vec{d} \cdot \vec{n_P} = 0$).
- Coplanarité de vecteurs et alignement de points : Tester la coplanarité de trois vecteurs et la colinéarité de deux vecteurs pour prouver l'alignement de trois points.
Exercice 4 : Étude de fonction (5 points)
Le dernier exercice est une analyse de fonction complète, combinant lecture graphique et étude analytique d'une fonction de type produit d'un polynôme et d'une exponentielle, $g(x) = (x+2)e^{-x}$.
- Lecture graphique : La première partie demande de lire graphiquement l'image $f(0)$ et le nombre dérivé $f'(0)$ qui correspond au coefficient directeur de la tangente en un point. Il faut aussi identifier un intervalle de concavité.
- Limites et dérivée : L'étude analytique commence par le calcul des limites de la fonction $g$ en $+\infty$ et $-\infty$, en utilisant notamment les théorèmes de croissance comparée. On calcule ensuite la fonction dérivée $g'(x)$.
- Tableau de variation : L'étude du signe de la dérivée $g'(x)$ permet de construire le tableau de variations complet de la fonction $g$ et de déterminer son extremum.
- Convexité : Le calcul de la dérivée seconde $g''(x)$ et l'étude de son signe permettent de déterminer les intervalles sur lesquels la fonction est convexe ou concave.
- Tangente et position relative : L'exercice se conclut par la détermination de l'équation de la tangente à la courbe en un point d'abscisse 1, et l'étude de la position relative de la courbe par rapport à cette tangente.