Ce contrôle de mathématiques pour le niveau Seconde est entièrement dédié au chapitre sur les pourcentages et les taux d'évolution. Il s'agit d'une évaluation complète qui balaie l'ensemble des compétences essentielles à maîtriser sur ce sujet. À travers quatre exercices variés, les élèves sont amenés à manipuler les proportions, calculer des taux d'évolution simples et complexes, et appliquer ces notions à des situations concrètes. Ce sujet corrigé est un excellent outil de révision pour se préparer à une évaluation en classe, pour identifier ses points faibles et pour consolider ses acquis. Les notions de coefficient multiplicateur, d'évolutions successives et de taux réciproque sont au cœur de ce devoir.

Maîtriser les pourcentages est fondamental, non seulement pour la réussite au lycée, mais aussi dans de nombreuses situations de la vie quotidienne (soldes, crédits, statistiques, etc.). Ce corrigé détaillé vous accompagnera pas à pas dans la résolution de chaque question.

Exercice 1 : Questions rapides

Cet exercice est une série de questions indépendantes conçues pour vérifier la maîtrise des calculs de base sur les pourcentages et les évolutions. Chaque question cible une compétence spécifique :

• Question 1 : Calculer une proportion simple. Il s'agit de déterminer quel pourcentage représente une partie (40 000 places) par rapport à un tout (64 000 places). La formule de base de la proportion $p = \frac{\text{partie}}{\text{tout}}$ est ici appliquée.
• Question 2 : Retrouver une valeur initiale à partir d'un pourcentage. Connaissant une partie de la population (123 réponses) et le pourcentage qu'elle représente (32,8%), il faut retrouver la population totale. C'est une application inversée des pourcentages.
• Question 3 : Calculer un pourcentage de pourcentage. L'exercice demande de calculer la proportion de peintures françaises parmi l'ensemble des œuvres, sachant que les peintures représentent 70% des œuvres et que 30% de ces peintures sont françaises. Cela revient à calculer $30\% \text{ de } 70\%$.
• Question 4 : Calculer un taux d'évolution. À partir d'une valeur initiale $V_i = 67\,000$ et d'une valeur finale $V_f = 81\,000$, il faut calculer le taux d'évolution $t = \frac{V_f - V_i}{V_i}$.
• Question 5 : Appliquer un pourcentage d'augmentation. C'est le cas classique de l'augmentation d'un prix. On utilise le coefficient multiplicateur $CM = 1 + \frac{t}{100}$ pour trouver la valeur finale : $V_f = V_i \times (1 + \frac{5}{100})$.
• Question 6 : Retrouver la valeur initiale après une augmentation. C'est l'opération inverse de la question 5. Connaissant la valeur finale et le taux d'augmentation, on retrouve la valeur initiale en divisant par le coefficient multiplicateur : $V_i = \frac{V_f}{CM}$.
• Question 7 : Calculer un taux d'évolution global après des évolutions successives. Une augmentation de 24% suivie d'une baisse de 17%. Il faut utiliser les coefficients multiplicateurs : $CM_{global} = CM_1 \times CM_2 = (1 + \frac{24}{100}) \times (1 - \frac{17}{100})$. Le taux global est ensuite déduit de $CM_{global}$.
• Question 8 : Déterminer le taux d'évolution réciproque. Pour annuler une augmentation de 25% (correspondant à un $CM_1 = 1.25$), il faut appliquer une diminution correspondant à un coefficient multiplicateur $CM_2$ tel que $CM_1 \times CM_2 = 1$. On cherche donc le taux associé à $CM_2 = \frac{1}{1.25}$.

Exercice 2 : Club de natation

Cet exercice aborde les pourcentages sous l'angle de la théorie des ensembles. Il s'agit de répartir une population (les adhérents d'un club) dans différentes catégories qui peuvent se chevaucher.

• Question 1 : L'utilisation d'un diagramme de Venn est demandée pour visualiser la répartition des adhérents. Il faut calculer le nombre d'adhérents dans chaque zone : ceux qui ne font que du crawl, que de la brasse, les deux, ou aucun des deux. C'est une excellente méthode pour organiser les données.
• Question 2 : On calcule ensuite des proportions simples et la proportion d'une union d'événements (crawl OU brasse). La formule $Card(B \cup C) = Card(B) + Card(C) - Card(B \cap C)$ est ici centrale.
• Question 3 : Cette question est plus subtile et s'approche de la notion de probabilité conditionnelle. On demande la proportion de nageurs pratiquant la brasse parmi ceux qui pratiquent le crawl. Il faut changer l'ensemble de référence : le "tout" n'est plus l'ensemble des adhérents, mais l'ensemble des nageurs de crawl.

Exercice 3 : Répartition au lycée

Cet exercice est un problème classique de proportions croisées qui se résout efficacement à l'aide d'un tableau à double entrée (ou tableau de contingence). Les informations sont données sous différentes formes (fraction, pourcentage du total, pourcentage d'une sous-population), ce qui demande une attention particulière.

• Question 1 : Le cœur de l'exercice est de compléter le tableau des effectifs (Filles/Garçons, Seconde/Autres classes). Il faut traduire toutes les informations en effectifs pour remplir les cases du tableau, en utilisant la logique et les totaux. Par exemple, calculer le nombre d'élèves en Seconde (2/5 de 1600), puis le nombre de filles en Seconde (40% de cet effectif), etc.
• Questions 2 et 3 : Ces questions testent la bonne compréhension de la population de référence. On demande le pourcentage de garçons en Seconde "parmi la totalité des élèves de la classe de seconde" puis "parmi les garçons du lycée". Les numérateurs peuvent être identiques, mais les dénominateurs changent, ce qui modifie le résultat. C'est une compétence clé pour interpréter correctement des statistiques.

Exercice 4 : Métaux précieux

Ce dernier exercice est un problème de synthèse qui applique les taux d'évolution à un contexte financier concret. Il mêle calcul de proportions, application d'augmentations et calcul d'un taux d'évolution global sur un coût pondéré.

• Question 1 : Il faut d'abord calculer le coût de revient d'une bague. Cela implique de calculer le poids de chaque métal (cuivre et argent) dans l'alliage, puis de calculer leur coût respectif et de les additionner. Ensuite, on applique un bénéfice de 15%, ce qui revient à calculer une augmentation de 15% sur le coût de revient pour trouver le prix de vente.
• Question 2 : La situation évolue : les prix des matières premières augmentent. Il faut recalculer le coût de revient de la bague en appliquant les augmentations respectives sur le coût du cuivre (+30%) et de l'argent (+7%). La question finale demande de calculer le pourcentage d'augmentation global du prix de confection. Ce n'est pas une simple moyenne des pourcentages, mais bien un calcul de taux d'évolution à partir du coût initial et du nouveau coût. C'est une application directe de la formule $t = \frac{V_f - V_i}{V_i}$.