Ce document propose un sujet de contrôle de mathématiques complet pour le niveau Seconde, axé sur les chapitres fondamentaux du calcul numérique et du calcul littéral. D'une durée d'une heure, cette évaluation est un excellent outil pour les élèves souhaitant tester et renforcer leurs compétences en manipulation d'expressions algébriques, en résolution d'équations et en application des concepts numériques. Chaque exercice est conçu pour évaluer une compétence spécifique, de la maîtrise des puissances et des racines carrées au développement et à la factorisation d'expressions polynomiales. Ce corrigé détaillé vous guidera pas à pas dans la résolution de chaque question, faisant de ce document une ressource indispensable pour vos révisions.

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Exercice 1 : Vrai ou Faux sur les Calculs Numériques

Cet exercice d'introduction teste la compréhension fondamentale des règles de calcul avec les puissances, les fractions et les racines carrées. Il est crucial de fournir une justification détaillée pour chaque réponse, car cela démontre la maîtrise des concepts et pas seulement une intuition.

• Affirmation 1 : Évaluation d'une expression avec des puissances de 10. La question est de vérifier si \( \frac{1}{10^{118}} - \frac{1}{10^{120}} = \frac{99}{10^{120}} \). La résolution passe par la mise au même dénominateur, \( 10^{120} \), et l'application des propriétés des puissances : \( \frac{10^2}{10^{120}} - \frac{1}{10^{120}} = \frac{100 - 1}{10^{120}} = \frac{99}{10^{120}} \). L'affirmation est donc vraie.
• Affirmation 2 : Simplification d'une expression complexe avec des puissances de -4 et 16. L'expression est \( \frac{(-4)^{-2} \times 16^{-3} \times (-4)^5}{(-4)^3 \times (-4)^{-6}} \). Il faut d'abord harmoniser la base en notant que \( 16 = (-4)^2 \), puis appliquer les règles \( (a^m)^n = a^{mn} \), \( a^m \times a^n = a^{m+n} \) et \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).
• Affirmation 3 : Nature d'un nombre. Il s'agit de déterminer si \( A = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \) est un nombre décimal. En calculant la somme, on obtient \( A = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,5 \). Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10. C'est bien le cas ici, donc l'affirmation est vraie.
• Affirmation 4 : Propriétés des racines carrées. L'affirmation \( \sqrt{7} + \sqrt{3} + \sqrt{10} = \sqrt{20} \) est une erreur classique. Elle teste la connaissance que \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \neq \sqrt{a+b} \). Une justification simple consiste à calculer une approximation de chaque membre pour montrer leur différence. L'affirmation est fausse.

Exercice 2 : Maîtrise du Développement et de la Factorisation

Cet exercice est au cœur du calcul littéral. Il évalue la capacité à manipuler des expressions algébriques en utilisant les identités remarquables et la distributivité.

1. Développement d'expressions :
   • Pour \( A = -(2x - 3)^2 \), il faut appliquer l'identité remarquable \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \) puis distribuer le signe négatif.
   • Pour \( B = (2a + 3)(a - 5) - (1 - a)^2 \), il faut combiner la double distributivité pour le premier terme et une identité remarquable pour le second, avant de réduire l'expression finale.
2. Factorisation d'expressions :
   • Pour \( C = (2x - 5)(3x + 7) - (5 - x)(2x - 5) \), la méthode consiste à identifier le facteur commun \( (2x - 5) \) et à l'utiliser pour simplifier l'expression.
   • Pour \( D = (2x - 3)^2 - 25x^2 \), il faut reconnaître l'identité remarquable de la différence de deux carrés, \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \), avec \( a = (2x-3) \) et \( b = 5x \).

Exercice 3 : Étude Complète d'une Expression Littérale

Cet exercice propose une étude progressive de l'expression \( E = (x + 1)^2 - (x + 1)(2x - 3) \), balayant plusieurs compétences clés du calcul littéral.

1. Développer et réduire E : La première étape consiste à développer \( (x+1)^2 \) avec une identité remarquable et \( (x+1)(2x-3) \) par double distributivité, puis à soustraire les résultats et simplifier.
2. Calculer E pour \( x = -1/2 \) : Cette question teste la capacité à substituer une valeur numérique dans une expression littérale et à effectuer les calculs avec des fractions.
3. Factoriser E : Similaire à l'exercice 2, il faut identifier le facteur commun \( (x+1) \) pour obtenir une forme factorisée de E. On obtient \( E = (x+1)[(x+1) - (2x-3)] = (x+1)(-x+4) \).
4. Résoudre E = 0 : En utilisant la forme factorisée, on résout une équation produit-nul : \( (x+1)(-x+4) = 0 \). Les solutions sont obtenues lorsque l'un des facteurs est nul, soit \( x+1=0 \) ou \( -x+4=0 \).

Exercice 4 : Application Géométrique des Calculs Numériques

Le dernier exercice met en contexte les compétences de calcul numérique dans un problème de géométrie. Il s'agit d'étudier un rectangle dont les dimensions sont données par des expressions avec des racines carrées.

1. Calcul de l'aire : L'aire du rectangle est le produit de ses côtés : \( (\sqrt{8} + 2\sqrt{2}) \times (\sqrt{8} - \sqrt{2}) \). La première étape est de simplifier \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} \). L'aire devient \( (4\sqrt{2}) \times (\sqrt{2}) = 4 \times 2 = 8 \). L'aire est bien un nombre entier.
2. Calcul du périmètre : Le périmètre est \( p = 2 \times (L+l) \). En remplaçant par les dimensions simplifiées, \( p = 2 \times (4\sqrt{2} + \sqrt{2}) = 2 \times (5\sqrt{2}) = 10\sqrt{2} \).
3. Vérification de la diagonale : L'affirmation est \( d = \sqrt{34} \). On utilise le théorème de Pythagore : \( d^2 = L^2 + l^2 = (4\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 \). Le calcul donne \( d^2 = 16 \times 2 + 2 = 32 + 2 = 34 \). Donc, \( d = \sqrt{34} \). L'élève a raison. Cet exercice montre l'importance de la simplification des racines carrées et de leur manipulation dans des calculs plus complexes.