Découvrez une analyse complète et un corrigé détaillé pour ce contrôle de mathématiques de niveau Seconde, centré sur le chapitre crucial de la résolution d'équations. Ce sujet de maths est un excellent support pour s'entraîner et maîtriser les compétences algébriques fondamentales telles que les équations produits, les équations quotients, la gestion des valeurs absolues, ainsi que la factorisation et le développement d'expressions littérales. Il se termine par des problèmes de mise en équation, essentiels pour appliquer les mathématiques à des situations concrètes.

Exercice 1 : Maîtrise des techniques de résolution d'équations

Cet exercice est une évaluation progressive des savoir-faire de base en résolution d'équations. Il est structuré en trois parties pour tester des compétences spécifiques.

Partie A : Équations produits et factorisation

Cette première section est consacrée aux équations qui se résolvent en utilisant la règle du produit nul : un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l'un de ses facteurs est nul.

• 1. \( 4(3x - 1)(1 - x) = 0 \): Une application directe de la règle du produit nul.
• 2. \( 4x^2 = -2 \): Une équation du second degré de la forme \( x^2=a \) qui interroge sur les solutions réelles possibles lorsque \(a\) est négatif.
• 3. \( (2x + \frac{1}{2})^2 = 0 \): Une équation produit avec une racine double.
• 4. \( 4x^2 = 5x \): Cette équation doit être réorganisée et factorisée pour être résolue comme une équation produit nul.
• 5. \( (x - 2)(2x – 3) – (x - 2)(7x + 2) = 0 \): Un cas classique nécessitant une factorisation par un facteur commun \( (x-2) \) avant d'appliquer la règle du produit nul.

Partie B : Équations quotients

Cette partie évalue la capacité à résoudre des équations rationnelles, ce qui implique de déterminer l'ensemble de définition en identifiant les valeurs interdites.

• 6. \( \frac{10x - 3}{x+1} = 0 \): Une équation quotient de base, qui se résout en annulant le numérateur après avoir posé la condition d'existence \( x \neq -1 \).
• 7. \( \frac{x-3}{x-5} + 4 = 0 \): Nécessite une mise au même dénominateur pour se ramener à une équation de la forme \( \frac{A(x)}{B(x)} = 0 \).
• 8. \( \frac{(4x - 2)(x + 10)}{2x - 1} = 0 \): Combine les notions d'équation produit au numérateur et d'équation quotient.

Partie C : Valeurs absolues

La dernière section de l'exercice porte sur la résolution d'équations avec la valeur absolue, qui se décompose typiquement en deux équations distinctes.

• 9. \( |x-1| = 3 \): Une équation fondamentale utilisant la définition de la valeur absolue.
• 10. \( |x + 6| = 10 \): Similaire à la précédente.
• 11. \( |2x + 14| = 26 \): Un cas légèrement plus élaboré.

Exercice 2 : Étude d'une expression littérale

Cet exercice évalue la manipulation d'une expression littérale, \( E(x) = (5x − 3)^2 – 2(x - 1)(5x − 3) \), et l'importance de choisir la forme la plus appropriée (développée ou factorisée) pour résoudre un problème.

• 1. Développer, réduire et ordonner E(x): Application des identités remarquables et de la double distributivité.
• 2. Factoriser E(x): Identification et utilisation d'un facteur commun.
• 3. Résolution d'équations: Utilisation stratégique des formes de \( E(x) \) pour résoudre a) \( E(x) = 0 \) (avec la forme factorisée) et b) \( E(x) = 3 \) (avec la forme développée).

Exercice 3 : Calcul numérique, Algorithme et Géométrie

Cet exercice varié teste un large éventail de compétences, de l'arithmétique à la géométrie analytique.

• 1. Écriture scientifique: Manipulation des puissances de 10.
• 2. Algorithme: Traduction d'un programme de calcul en une expression fonctionnelle et résolution d'une équation simple du second degré.
• 3. Racines carrées: Simplification d'expressions contenant des radicaux comme \( D = -3\sqrt{28}+5\sqrt{252} \).
• 4. Géométrie dans un repère: Calcul de coordonnées d'un milieu et de la longueur d'un segment, en mobilisant le calcul avec les racines carrées.
• 5. Calculs sur les radicaux: Développement d'une expression \( E = (5\sqrt{3} – 3\sqrt{5})^2 \) à l'aide des identités remarquables.

Exercice 4 : Problèmes de mise en équation

La dernière partie est dédiée à la modélisation de situations concrètes par des équations, une compétence clé en mathématiques.

• 1. Géométrie: Un problème sur le périmètre d'un carré menant à une équation du premier degré.
• 2. La boulangerie: Un problème de la vie courante se traduisant par une équation simple.
• 3. Problème d'âges: Un classique qui se résout en posant une équation du premier degré à une inconnue.