Contrôle Corrigé de Mathématiques sur la Dérivation Locale - Niveau Première

Ce document propose un corrigé détaillé d'une évaluation de mathématiques pour les élèves de Première en spécialité, axée sur le chapitre de la dérivation locale. Ce contrôle a été conçu pour évaluer la compréhension des concepts fondamentaux tels que le taux de variation, le nombre dérivé, la détermination de l'équation d'une tangente et l'étude de la dérivabilité en un point. Chaque exercice est analysé en profondeur pour vous aider à préparer efficacement vos examens.

Exercice 1 : Lecture graphique et définition du nombre dérivé

Le premier exercice de ce contrôle évalue la capacité à interpréter graphiquement le nombre dérivé et à le calculer en utilisant sa définition formelle. À partir de la courbe représentative de la fonction \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) et de deux de ses tangentes, T et D, il est demandé :

• Question 1 : De déterminer graphiquement les nombres dérivés \( f'(1) \) et \( f'(2) \). Cette question teste la compréhension que le nombre dérivé correspond au coefficient directeur de la tangente à la courbe en un point donné. Le corrigé détaille la méthode pour lire cette pente sur le graphique.
• Question 2 : De retrouver la valeur de \( f'(1) \) par le calcul, en revenant à la définition du nombre dérivé, c'est-à-dire en calculant la limite du taux d'accroissement : \( \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h)-f(1)}{h} \).

Exercice 2 : Étude de la dérivabilité en un point

Cet exercice se concentre sur l'application directe de la définition du nombre dérivé pour étudier la dérivabilité de trois fonctions différentes en un point \( a \) spécifié. Il s'agit de calculer la limite du taux de variation pour :

• Une fonction affine \( f(x) = -3x + 2 \) en \( a = 2 \).
• Une fonction inverse \( f(x) = \frac{5}{x} \) en \( a = 1 \).
• Une fonction rationnelle \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) en \( a = -2 \).

Le corrigé montre pas à pas comment poser le calcul de la limite et conclure sur la dérivabilité et la valeur du nombre dérivé \( f'(a) \).

Exercice 3 : Étude complète d'une fonction racine carrée

L'exercice 3 est une étude de cas complète sur la fonction \( f(x) = \sqrt{2x - 5} \). Les questions abordent successivement :

• La recherche de l'ensemble de définition de la fonction.
• La démonstration d'une forme simplifiée du taux d'accroissement \( \tau(h) \) entre 3 et \( 3+h \), impliquant l'utilisation de la quantité conjuguée.
• La déduction de la dérivabilité en 3 et le calcul de \( f'(3) \) à partir de la limite du taux d'accroissement.
• La détermination de l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 3, en appliquant la formule \( y = f'(a)(x-a) + f(a) \).

Exercice 4 : Recherche de tangentes avec des propriétés spécifiques

Cet exercice explore le lien entre la fonction dérivée et les propriétés géométriques de la courbe de la fonction \( f(x) = 2x^3 - x^2 + 10 \). Il est demandé de déterminer :

• L'existence et l'abscisse des points où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses, ce qui se traduit par la résolution de l'équation \( f'(x) = 0 \).
• L'existence et l'abscisse des points où la tangente a un coefficient directeur égal à -1, ce qui revient à résoudre \( f'(x) = -1 \).

Exercice 5 : Équation de tangente et position relative

Le dernier exercice se penche sur la fonction \( g(x) = x^3 - 5x^2 + 3x \) et sa relation avec sa tangente au point d'abscisse 0.

• Question 1 : Il faut d'abord démontrer que l'équation de la tangente T en ce point est \( y = 3x \).
• Question 2 : Ensuite, il est demandé d'étudier la position relative de la courbe de \( g \) par rapport à sa tangente T. Cela nécessite d'étudier le signe de la différence \( g(x) - 3x \) sur l'intervalle donné.