Analyse du Contrôle de Mathématiques sur les Probabilités Conditionnelles

Ce document est une évaluation de mathématiques de niveau Première, spécialité mathématiques, portant sur le chapitre des probabilités conditionnelles. D'une durée indicative d'une heure, ce contrôle est structuré en deux exercices distincts qui balayent les compétences essentielles de ce chapitre. Il s'agit d'un excellent support pour s'entraîner, que ce soit pour une interrogation en classe ou pour la préparation du baccalauréat. Ce sujet de maths corrigé est idéal pour vérifier sa compréhension des concepts clés tels que les arbres pondérés, la formule des probabilités totales, l'inversion des conditionnelles et l'indépendance d'événements.

Exercice 1 : Réussite au Baccalauréat (5 points)

Le premier exercice met en scène une situation concrète et classique : la réussite au baccalauréat en fonction du sérieux du travail fourni durant l'année. On y définit deux événements :

• $T$ : "le candidat a travaillé sérieusement"
• $A$ : "le candidat est admis au baccalauréat"

L'énoncé fournit des probabilités initiales : $P(T) = \frac{3}{4}$, la probabilité conditionnelle de réussite sachant que le travail a été sérieux $P_T(A) = 0,9$, et la probabilité de réussite sachant que le travail n'a pas été sérieux $P_{\bar{T}}(A) = 0,2$.

Les questions testent progressivement la maîtrise du chapitre :

1. Construire un arbre pondéré : C'est la compétence de base qui consiste à traduire un énoncé en un schéma visuel. Il faut correctement placer les événements, les probabilités sur les premières branches ($P(T)$ et $P(\bar{T})$) et les probabilités conditionnelles sur les secondes branches ($P_T(A)$, $P_T(\bar{A})$, etc.).
2. Calcul de probabilités d'intersections : Il est demandé de calculer $P(T \cap \bar{A})$ et $P(\bar{T} \cap A)$. Cela revient à appliquer la "règle du chemin" sur l'arbre : la probabilité d'une intersection est le produit des probabilités rencontrées sur le chemin qui la représente.
3. Application de la formule des probabilités totales et inversion de conditionnelle :
   • La question 3a demande de démontrer que la probabilité d'être admis, $P(A)$, est de 0,725. C'est une application directe de la formule des probabilités totales, qui consiste à additionner les probabilités de tous les chemins menant à l'événement $A$ : $P(A) = P(T \cap A) + P(\bar{T} \cap A) = P(T)P_T(A) + P(\bar{T})P_{\bar{T}}(A)$.
   • La question 3b est un classique de l'inversion d'arbre. Sachant que le candidat est admis, on cherche la probabilité qu'il ait travaillé sérieusement, c'est-à-dire $P_A(T)$. Il faut utiliser la définition : $P_A(T) = \frac{P(T \cap A)}{P(A)}$.
4. Indépendance des événements : La question 4 interroge sur l'indépendance de $A$ et $T$. Pour y répondre, il faut vérifier si la condition $P(T \cap A) = P(T) \times P(A)$ est respectée. Le calcul montre rapidement que ce n'est pas le cas, ce qui est logique au vu du contexte.
5. Calcul de la probabilité d'une union : La dernière question introduit un événement "surprise" $S$, qui est l'union de deux événements incompatibles : "être admis sans avoir travaillé" ($A \cap \bar{T}$) et "être refusé en ayant travaillé" ($\bar{A} \cap T$). Le calcul de $P(S)$ se fait par simple addition des probabilités de ces deux intersections : $P(S) = P(A \cap \bar{T}) + P(\bar{A} \cap T)$.

Exercice 2 : Demandeurs d'emploi (5 points)

Ce deuxième exercice aborde une autre situation classique, une étude statistique sur des demandeurs d'emploi selon le sexe et l'expérience professionnelle. Les événements sont :

• $S$ : "le demandeur d'emploi est sans expérience"
• $F$ : "le demandeur d'emploi est une femme"

L'énoncé donne cette fois des probabilités globales ($P(F)=0,52$, $P(S)=0,18$) et une probabilité conditionnelle ($P_{\bar{F}}(S)=0,175$). Cet exercice demande une lecture attentive pour bien organiser les données.

Les questions s'enchaînent logiquement :

1. Interprétation des données et calcul d'une probabilité manquante : Il faut d'abord identifier les probabilités données. La question demande $P(S)$ (donnée) et $P_F(S)$. Pour trouver $P_F(S)$, il faut utiliser la formule des probabilités totales sur l'événement $S$ : $P(S) = P(F \cap S) + P(\bar{F} \cap S)$, ce qui mène à $P(S) = P(F)P_F(S) + P(\bar{F})P_{\bar{F}}(S)$. En isolant $P_F(S)$, on trouve la valeur manquante.
2. Compléter un arbre pondéré : Contrairement à l'exercice 1, l'arbre est déjà dessiné. Il s'agit de le compléter avec les bonnes probabilités, ce qui nécessite les calculs de la question précédente. C'est une vérification de la bonne compréhension de la structure de l'arbre.
3. Calcul et interprétation d'une intersection : On doit démontrer que $P(\bar{F} \cap S) = 0,084$. C'est un calcul direct ($P(\bar{F}) \times P_{\bar{F}}(S)$) et l'interprétation consiste à traduire ce résultat en une phrase concrète : "La probabilité de choisir un demandeur d'emploi qui est un homme sans expérience est de 8,4%".
4. Calcul d'une probabilité conditionnelle (inversion) : On demande $P_S(\bar{F})$, c'est-à-dire la probabilité que le demandeur soit un homme sachant qu'il est sans expérience. De nouveau, c'est une inversion qui se calcule avec la formule $P_S(\bar{F}) = \frac{P(\bar{F} \cap S)}{P(S)}$.
5. Calcul d'une probabilité conditionnelle (directe) : La dernière question demande $P_F(S)$, la probabilité qu'un demandeur soit sans expérience sachant que c'est une femme. Cette valeur a normalement déjà été calculée à la première question pour compléter l'arbre. C'est un calcul direct.

En conclusion, ce contrôle sur les probabilités conditionnelles est très complet pour un niveau Première. Il évalue la capacité à modéliser une situation avec un arbre, à manipuler les formules fondamentales et à interpréter les résultats dans leur contexte.