Analyse du Contrôle de Mathématiques sur les Probabilités Conditionnelles - Niveau Première

Ce sujet de mathématiques pour la classe de Première, spécialité maths, est une évaluation complète sur le chapitre des probabilités conditionnelles. Il permet de vérifier la maîtrise des outils fondamentaux comme les arbres pondérés, la formule des probabilités totales et la notion d'indépendance. Mots clés : Contrôle corrigé, Sujet de maths, Première, spécialité maths, probabilités conditionnelles, arbre pondéré, formule des probabilités totales, indépendance d'événements, théorème de Bayes.

Exercice 1 : Technique de l'arbre pondéré

Cet exercice est une application directe des concepts de base. À partir d'un arbre pondéré incomplet, l'élève doit d'abord le compléter en utilisant la règle des nœuds (la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1). Les questions suivantes balayent les formules essentielles :

• Calcul de la probabilité d'une intersection, $P(A \cap V)$, par multiplication des probabilités sur le chemin correspondant.
• Application de la formule des probabilités totales pour calculer $P(V) = P(A \cap V) + P(\bar{A} \cap V)$.
• Calcul de la probabilité d'une union avec la formule $P(A \cup V) = P(A) + P(V) - P(A \cap V)$.
• Calcul d'une probabilité conditionnelle "inversée" $P_V(A)$ grâce à la formule $P_V(A) = \frac{P(A \cap V)}{P(V)}$, qui est une introduction au raisonnement bayésien.
• Test de l'indépendance de deux événements en vérifiant si l'égalité $P(A \cap V) = P(A) \times P(V)$ est vraie.
• Vérification de l'incompatibilité (événements disjoints) en regardant si $P(A \cap V) = 0$.

Exercice 2 : Feu vert et événements indépendants

Un exercice court pour s'assurer que la définition de l'indépendance de deux événements est acquise. Pour trouver la probabilité que l'automobiliste ne s'arrête pas, il suffit de calculer la probabilité de l'intersection des deux événements indépendants A et B : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

Exercice 3 : Lancer de dés et tableau à double entrée

Cet exercice explore une expérience aléatoire avec des dés non standards. L'utilisation d'un tableau à double entrée est suggérée pour modéliser la situation, ce qui permet de visualiser l'ensemble des 36 issues possibles. L'élève doit ensuite calculer des probabilités d'événements variés (même résultat, résultats différents, etc.) en dénombrant les cas favorables. La notion d'équiprobabilité est questionnée. La fin de l'exercice revient sur les probabilités conditionnelles avec le calcul de $P_D(C)$ et un nouveau test d'indépendance.

Exercice 4 : Bientôt les vacances !! (Modélisation)

Il s'agit d'un problème concret typique du chapitre. La première étape cruciale est la traduction de l'énoncé en langage probabiliste. Il faut ensuite utiliser les données pour construire un arbre pondéré, appliquer la formule des probabilités totales pour trouver la probabilité de l'événement "le portique sonne", et enfin, inverser le conditionnement pour calculer la probabilité qu'un voyageur porte un objet métallique sachant que la sonnerie s'est déclenchée ($P_S(M)$), une application directe du théorème de Bayes.

Exercice 5 : Contrôle technique (Algèbre)

Cet exercice, bien que non centré sur les probabilités, vérifie des prérequis algébriques indispensables. Il comporte la résolution d'équations du premier et du second degré, en mobilisant des techniques comme la factorisation et les identités remarquables.

Exercice 6 : Tricheur (Raisonnement Bayésien)

Un autre problème classique de mise en situation qui se résout en inversant un arbre de probabilités. Il faut modéliser la situation (tricherie, gain) et calculer la probabilité que Tom ait triché sachant qu'il a gagné, $P_{Gagne}(Triche)$, illustrant une fois de plus la puissance du raisonnement bayésien.

Exercice 7 : Recherche avec paramètre

Cet exercice de recherche, plus exigeant, introduit un paramètre n dans une expérience de tirages successifs avec remise et ajout de boules. Il faut modéliser la situation avec un arbre dont les probabilités dépendent de n. En appliquant la formule des probabilités totales, on obtient une expression de la probabilité de l'événement A en fonction de n. L'exercice se conclut par la résolution de l'équation $P(A) = \frac{3}{4}$ pour trouver la valeur de n, ce qui mène à une équation du second degré.