Découvrez notre sujet de maths complet sur les généralités sur les suites numériques, niveau Première en spécialité mathématiques. Ce contrôle d'une heure, accompagné de son corrigé détaillé, est l'outil idéal pour s'entraîner et valider ses connaissances sur ce chapitre fondamental. Le sujet est divisé en quatre exercices progressifs qui balayent l'ensemble des compétences attendues : reconnaissance de suites, calcul de termes, étude du sens de variation, modélisation de problème et initiation à l'algorithmique.

Ce contrôle corrigé de mathématiques vous permettra de vous familiariser avec les questions types et de maîtriser les différentes méthodes de résolution. Chaque exercice est conçu pour cibler des savoir-faire spécifiques, de la simple application des formules à la mise en place d'un raisonnement plus complexe.

Exercice 1 : Reconnaissance et Définition de Suites

Le premier exercice de ce sujet de maths est une introduction aux suites. Il s'agit d'identifier la logique sous-jacente de deux suites données par leurs premiers termes.

• La première suite est une suite géométrique classique : \( (u_n) \) avec les termes \( 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots \). L'objectif est de trouver la raison, de calculer les deux termes suivants, puis de donner sa définition explicite \( u_n = (\frac{1}{2})^n \) et sa définition par récurrence \( u_{n+1} = \frac{1}{2} u_n \) avec \( u_0 = 1 \).
• La seconde suite est plus complexe : \( -1, \sqrt{3}, -3, \sqrt{27}, \dots \). Elle mêle une alternance de signes et des puissances d'un nombre. Cet exercice teste la capacité à observer des motifs et à les formaliser mathématiquement, en trouvant une expression du terme général de la forme \( u_n = (-1)^{n+1} (\sqrt{3})^n \).

Exercice 2 : Étude du Sens de Variation de Suites

Cet exercice central est entièrement dédié à l'étude du sens de variation des suites numériques, une compétence essentielle en Première. Cinq suites de natures différentes sont proposées pour tester la maîtrise de toutes les méthodes.

• Suite arithmétique : \( U_n = -2n + 3 \). On étudie son sens de variation en calculant la différence \( U_{n+1} - U_n \), qui est égale à la raison de la suite.
• Suite définie par une fonction : \( V_n = \frac{n}{n+4} \). La méthode la plus efficace est d'étudier les variations de la fonction associée \( f(x) = \frac{x}{x+4} \) sur \( [0, +\infty[ \).
• Suite récurrente : \( W_0 = -2 \) et \( W_{n+1} = W_n + 7n^2 \). L'étude du signe de la différence \( W_{n+1} - W_n = 7n^2 \) permet de conclure immédiatement.
• Suite explicite complexe : \( t_n = \frac{5n+2}{3^n} \). Pour cette suite à termes positifs, on peut comparer le quotient \( \frac{t_{n+1}}{t_n} \) à 1 pour déterminer son sens de variation.
• Suite de type polynomial : \( z_n = -\frac{1}{2}(n+2)^2 + 19 \). On s'appuie sur l'étude de la fonction du second degré associée pour en déduire les variations.

Exercice 3 : Modélisation d'un Problème avec une Suite

Ce troisième exercice est un problème concret de modélisation, typique de ce qui peut être demandé en spécialité mathématiques. Il s'agit de traduire une situation réelle (évolution du nombre d'abonnés d'une chaîne Youtube) en langage mathématique à l'aide d'une suite.

• On établit d'abord la relation de récurrence qui lie le nombre d'abonnés d'un mois au suivant. La suite \( (a_n) \) est une suite arithmético-géométrique de la forme \( a_{n+1} = 0.75 a_n + 400 \).
• Ensuite, il faut calculer les premiers termes de la suite à partir d'une condition initiale \( a_0 = 10000 \), ce qui permet de comprendre l'évolution concrète du nombre d'abonnés.
• Enfin, une question sur l'utilisation d'un tableur permet de faire le lien entre la formule de récurrence et son implémentation pratique pour générer les termes de la suite.

Exercice 4 : Calcul, Représentation et Algorithme

Le dernier exercice aborde une suite récurrente plus complexe (\( U_{n+1} = 3U_n - n + 4 \)) et explore les aspects calculatoires, graphiques et algorithmiques.

• Le calcul des cinq premiers termes est une application directe de la formule de récurrence.
• La représentation graphique d'une suite, en plaçant les points de coordonnées \( (n, U_n) \) dans un repère, est une compétence visuelle importante pour conjecturer le comportement de la suite.
• La dernière question introduit à l'algorithmique en demandant de compléter une fonction en langage Python. Cet exercice permet de transformer une relation de récurrence mathématique en un programme informatique capable de calculer n'importe quel terme de la suite, illustrant la puissance des outils numériques en mathématiques.

Ce sujet de maths sur les suites pour la classe de Première est donc un excellent support de révision avant une évaluation.