Contrôle Corrigé de Mathématiques : Géométrie dans l'Espace en Terminale Spécialité

Découvrez notre sujet de contrôle complet sur la géométrie dans l'espace, spécialement conçu pour les élèves de Terminale en spécialité mathématiques. Cette évaluation d'une heure porte sur les chapitres des représentations paramétriques de droites et des équations de plans. Elle est idéale pour s'entraîner et valider ses compétences sur la manipulation des objets géométriques en 3D, un pilier du programme de terminale.

Ce document est un excellent outil de révision, abordant des compétences clés telles que la détermination d'équations de droites, la vérification de l'appartenance de points, le calcul de points d'intersection entre droites ou entre une droite et un plan, ainsi que l'étude des positions relatives (parallélisme, non-coplanarité). Chaque exercice est structuré pour tester une compréhension approfondie des concepts du programme officiel.

Analyse de l'Exercice 1 : Droites et Plans dans l'Espace

L'exercice 1 est un problème classique de géométrie dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \( (O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \). Il permet de balayer les savoir-faire fondamentaux liés aux représentations paramétriques de droites et à leurs interactions avec les plans.

• Question 1(a) : Il s'agit de valider une représentation paramétrique donnée pour une droite \( (d_1) \) passant par deux points \( A(1; -2; -1) \) et \( B(3; -5; -2) \). La compétence testée est de savoir déterminer un vecteur directeur \( \vec{AB} \) et de l'utiliser avec un point de la droite pour écrire le système d'équations paramétriques. On doit montrer que le système \( \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -2 - 3t \\ z = -1 - t \end{cases}, t \in \mathbb{R} \) est bien une représentation de \( (d_1) \).
• Question 1(b) : Cette question demande de vérifier si un point \( C(-2; 2,5; 1) \) appartient à la droite \( (d_1) \). La méthode consiste à substituer les coordonnées de C dans la représentation paramétrique et à vérifier s'il existe une valeur unique du paramètre \( t \) qui satisfait les trois équations simultanément.
• Question 2 : On introduit une deuxième droite \( (d_2) \) par sa représentation paramétrique. L'objectif est de trouver les coordonnées du point d'intersection \( E \) des droites \( (d_1) \) et \( (d_2) \). Cela revient à résoudre un système de trois équations à deux inconnues (les paramètres \( t \) et \( r \) des deux droites).
• Question 3 : Une troisième droite \( (d_3) \) est donnée. Il faut démontrer que \( (d_1) \) et \( (d_3) \) ne sont pas coplanaires. Pour cela, on doit vérifier deux conditions : que leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires (les droites ne sont donc pas parallèles) et qu'elles n'ont pas de point d'intersection (elles ne sont pas sécantes).
• Question 4 : La dernière question de cet exercice introduit un plan \( P \) défini par un point \( F(0; 0; 4) \) et sa direction (parallèle au plan \( (O; \vec{i}, \vec{j}) \)). Il faut d'abord trouver l'équation cartésienne de ce plan (ici, \( z = 4 \)), puis déterminer le point d'intersection de la droite \( (d_1) \) avec ce plan en résolvant le système formé par leurs équations respectives.

Analyse de l'Exercice 2 : Vrai ou Faux avec Justification

Le second exercice est un QCM de type "vrai ou faux" où chaque réponse doit être rigoureusement justifiée. Il met en jeu des points, des droites \( d \) et \( d' \) et un plan \( (ABC) \) pour tester la compréhension des positions relatives et des propriétés vectorielles dans l'espace.

• Affirmation 1 : "Les droites \( d \) et \( (AB) \) sont parallèles." La justification passe par la comparaison de leurs vecteurs directeurs. On calcule les coordonnées du vecteur \( \vec{AB} \) et on les compare au vecteur directeur de \( d \) lu dans sa représentation paramétrique. Si les vecteurs sont colinéaires, les droites sont parallèles.
• Affirmation 2 : "La droite \( d' \) est parallèle au plan \( (ABC) \)." Pour vérifier cette affirmation, on peut montrer que le vecteur directeur de \( d' \) est orthogonal au vecteur normal du plan \( (ABC) \).
• Affirmation 3 : "\( D \) appartient à la droite \( d' \)." C'est une application directe de la compétence de vérification d'appartenance d'un point à une droite, similaire à la question 1(b) de l'exercice 1.
• Affirmation 4 : "\( (A; \vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) \) est un repère de l'espace." Cette affirmation est vraie si et seulement si les trois vecteurs \( \vec{AB} \), \( \vec{AC} \) et \( \vec{AD} \) ne sont pas coplanaires, c'est-à-dire linéairement indépendants.
• Affirmation 5 : "Les droites \( d \) et \( (AD) \) sont coplanaires." Deux droites sont coplanaires si elles sont soit parallèles, soit sécantes. Il faut donc vérifier la colinéarité de leurs vecteurs directeurs, et si ce n'est pas le cas, chercher si elles admettent un point d'intersection.

Ce sujet de mathématiques pour la Terminale spécialité est une évaluation complète sur la géométrie vectorielle et analytique dans l'espace, un chapitre fondamental du programme.