Ce contrôle corrigé de mathématiques pour la Terminale spécialité est entièrement dédié au chapitre du dénombrement. Il constitue une excellente évaluation pour tester sa maîtrise des concepts fondamentaux : k-uplets, arrangements et combinaisons, ainsi que les principes additif et multiplicatif. Le sujet est composé de quatre exercices variés qui balayent les situations classiques : choix multiples, formation de comités, jeux de cartes et tirages dans une urne. Ce document est un support idéal pour réviser et se préparer efficacement à une évaluation sur l'analyse combinatoire.

Exercice 1 – Fermetures hebdomadaires

Cet exercice aborde le dénombrement à travers un problème d'attribution. Il s'agit d'associer un jour de fermeture (parmi 7) à chacun des 5 cafés d'une ville. C'est un excellent moyen de différencier les modèles de listes ordonnées, avec ou sans répétition.

• Question 1 : Sans contrainte, chaque café peut choisir n'importe quel jour, indépendamment des autres. Il s'agit donc de créer une liste ordonnée de 5 jours choisis parmi 7, avec répétition possible. On utilise le modèle des k-uplets (ou p-listes). Le nombre de possibilités est $7^5$.
• Question 2 : La contrainte "aucun des cafés ne peut fermer le même jour" change la nature du problème. On constitue une liste ordonnée de 5 jours distincts choisis parmi 7. C'est un arrangement. Le nombre de façons est donné par la formule $A_7^5 = \frac{7!}{(7-5)!}$.
• Question 3 : La condition "chaque jour de la semaine, il doit y avoir au moins un café ouvert" est une application du dénombrement par le complémentaire. L'événement contraire est "il existe un jour où tous les cafés sont fermés". Il y a 7 jours possibles pour cet événement (tous ferment le lundi, OU tous le mardi, etc.). Le nombre total de possibilités (calculé en Q1) moins le nombre de cas contraires donne le résultat : $7^5 - 7$.

Exercice 2 – Comités dans une équipe mixte

Ce deuxième exercice est un classique sur la formation de groupes, où l'ordre des personnes choisies n'importe pas. Le modèle de référence est donc celui des combinaisons. L'énoncé explore des contraintes variées qui nécessitent l'application des principes fondamentaux.

• Question 1 : Pour le nombre total de comités de 4 personnes parmi 9, on calcule simplement une combinaison : $\binom{9}{4}$.
• Question 2 : Pour un comité avec une composition précise (2 femmes ET 2 hommes), on applique le principe multiplicatif. On choisit 2 femmes parmi 5 ET 2 hommes parmi 4. Le calcul est : $\binom{5}{2} \times \binom{4}{2}$.
• Question 3 : La condition "au moins trois femmes" se traduit par une alternative : (3 femmes ET 1 homme) OU (4 femmes ET 0 homme). On utilise le principe additif sur les résultats du principe multiplicatif pour chaque cas : $\binom{5}{3} \times \binom{4}{1} + \binom{5}{4} \times \binom{4}{0}$.
• Question 4 : Si Nora et Léo sont ensemble, ils sont imposés dans le comité. Il suffit de choisir les 2 personnes restantes parmi les 7 autres joueurs : $\binom{7}{2}$.
• Question 5 : Pour que Nora et Léo ne soient pas ensemble, on utilise à nouveau le principe du complémentaire : nombre total de comités (Q1) moins le nombre de comités où ils sont ensemble (Q4).

Exercice 3 – Jeu de cartes

Le tirage de cartes est un autre contexte privilégié pour les combinaisons, car une "main" de cartes est un ensemble non ordonné. On tire simultanément 5 cartes d'un jeu de 52.

• Question 1 : Le nombre total de tirages est le nombre de façons de choisir 5 cartes parmi 52 : $\binom{52}{5}$.
• Question 2 : La condition "5 cartes de cœur OU au moins 4 cartes de pique" fait appel au principe additif car les événements sont incompatibles. On calcule séparément le nombre de mains de 5 cœurs et le nombre de mains d'au moins 4 piques (qui se décompose lui-même en "4 piques et 1 autre" + "5 piques").
• Question 3 : Une contrainte sur plusieurs couleurs ("exactement 2 carreaux ET 1 trèfle") se résout avec le principe multiplicatif. Il faut choisir 2 carreaux parmi 13, 1 trèfle parmi 13, et les 2 dernières cartes parmi les couleurs restantes (cœur et pique).
• Question 4 : "Au moins un As" est un cas typique de dénombrement par le complémentaire. On calcule le nombre total de mains possibles et on soustrait le nombre de mains ne contenant aucun As (5 cartes choisies parmi les 48 non-As) : $\binom{52}{5} - \binom{48}{5}$.
• Question 5 : Cette question est plus complexe car les catégories "Rois" et "cartes noires" se chevauchent. Il faut raisonner par disjonction de cas en fonction du nombre de Rois noirs choisis pour ne compter aucune main plusieurs fois.

Exercice 4 – Urne de jetons colorés

Cet exercice de synthèse est crucial car il permet de vérifier la bonne compréhension des trois modèles de tirage.

• Partie 1 - Tirage simultané : On choisit 5 jetons en une seule fois. L'ordre n'importe pas, on utilise les combinaisons. Les questions reprennent les logiques des exercices précédents (choix simple, principe multiplicatif).
• Partie 2 - Tirage successif sans remise : On tire les jetons l'un après l'autre, sans les remettre. L'ordre compte et les répétitions sont impossibles. On utilise les arrangements. Le nombre total de listes est $A_{20}^5$. La question 2c est plus avancée, demandant de trouver le nombre de listes avec une composition donnée mais dans un ordre quelconque, ce qui fait intervenir la notion de permutation (ou anagramme) pour placer les couleurs.
• Partie 3 - Tirage successif avec remise : On tire les jetons l'un après l'autre en les remettant. L'ordre compte et les répétitions sont possibles. On utilise les k-uplets. Le nombre total de listes est $20^5$. Les questions permettent d'appliquer ce modèle et le raisonnement par le complémentaire.