Ce document est une évaluation de mathématiques pour le niveau Seconde, centrée sur le chapitre des fonctions affines. D'une durée de 15 minutes, ce contrôle rapide est conçu pour vérifier la maîtrise des concepts fondamentaux : identification d'une fonction affine, détermination de son sens de variation, représentation graphique, et étude de signe. Ce type de sujet est un excellent outil de révision pour les élèves souhaitant consolider leurs bases sur l'un des chapitres les plus importants du programme de Seconde.

Découvrez l'analyse détaillée et le corrigé de chaque exercice pour vous préparer efficacement aux évaluations et comprendre les attendus du professeur. Ce corrigé est un support pédagogique idéal pour s'entraîner en autonomie.

Exercice 1 : Identifier une fonction affine et ses coefficients

L'objectif de ce premier exercice est de s'assurer que l'élève sait reconnaître une fonction affine, qui s'écrit sous la forme \(f(x) = ax + b\), et identifier ses coefficients \(a\) (coefficient directeur) et \(b\) (ordonnée à l'origine).

• Pour la fonction \(f(x) = 5 - 3x\), il s'agit simplement de réorganiser les termes pour retrouver la forme canonique. On a \(f(x) = -3x + 5\), donc c'est bien une fonction affine avec \(a = -3\) et \(b = 5\).
• Pour la fonction \(g(x) = \frac{2x}{5} - 4\), l'expression peut être réécrite en \(g(x) = \frac{2}{5}x - 4\). Il s'agit donc d'une fonction affine avec pour coefficients \(a = \frac{2}{5}\) et \(b = -4\).
• La fonction \(h(x) = x(x - 2) – (x² + 1)\) demande une étape de calcul littéral préalable. Il faut développer puis simplifier l'expression : \(h(x) = x \times x - x \times 2 - x^2 - 1 = x^2 - 2x - x^2 - 1\). Après simplification, les termes en \(x^2\) s'annulent, et on obtient \(h(x) = -2x - 1\). C'est une fonction affine avec \(a = -2\) et \(b = -1\). Cet exemple piège souligne l'importance de ne pas se fier à l'apparence initiale de l'expression.

Exercice 2 : Déterminer le sens de variation

Cet exercice évalue la capacité à déterminer si une fonction affine est croissante ou décroissante. La règle est simple et repose sur le signe du coefficient directeur \(a\).

• Si \(a > 0\), la fonction est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
• Si \(a < 0\), la fonction est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
• Si \(a = 0\), la fonction est constante sur \(\mathbb{R}\).

Application aux fonctions données :

• Pour \(f(x) = 5 - 2x\), le coefficient directeur est \(a = -2\). Comme \(a < 0\), la fonction \(f\) est strictement décroissante.
• Pour \(g(x) = (\pi - 1)x - 2\), le coefficient directeur est \(a = \pi - 1\). On sait que \(\pi \approx 3,14159\), donc \(\pi - 1 > 0\). Comme \(a > 0\), la fonction \(g\) est strictement croissante.

Exercice 3 : Graphique et tableau de signes

Cet exercice en deux parties teste deux compétences clés : la représentation graphique et l'étude de signe d'une fonction affine. On considère la fonction \(g(x) = -2x + 5\).

1. Construire la représentation graphique : La représentation graphique d'une fonction affine est une droite. Pour la tracer, il suffit de déterminer les coordonnées de deux points. On choisit généralement des valeurs de \(x\) simples :
   • Si \(x=0\), alors \(g(0) = -2(0) + 5 = 5\). On a le point A(0, 5). C'est l'ordonnée à l'origine.
   • Si \(x=2\), alors \(g(2) = -2(2) + 5 = 1\). On a le point B(2, 1).
   Il suffit ensuite de placer ces deux points dans le repère et de tracer la droite qui passe par A et B.
2. Donner le tableau de signes : Pour établir le tableau de signes, il faut d'abord trouver la valeur de \(x\) pour laquelle la fonction s'annule (la racine). On résout l'équation \(g(x) = 0 \Leftrightarrow -2x + 5 = 0 \Leftrightarrow -2x = -5 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2} = 2,5\). Le coefficient directeur \(a = -2\) est négatif, ce qui signifie que la fonction est d'abord positive (pour \(x < 2,5\)), s'annule en \(x = 2,5\), puis devient négative (pour \(x > 2,5\)). Le tableau de signes synthétise cette information.

Exercice 4 : Signe d'un produit de facteurs du premier degré

Le dernier exercice porte sur l'étude de signe d'une expression produit : \(A(x) = (5x - 1)(2 - x)\). La méthode consiste à étudier le signe de chaque facteur séparément, puis à combiner les résultats dans un tableau de signes commun.

• Signe du premier facteur : \(5x - 1\). Il s'annule pour \(x = \frac{1}{5}\). Le coefficient directeur est \(a = 5 > 0\), donc ce facteur est négatif avant \(\frac{1}{5}\) et positif après.
• Signe du second facteur : \(2 - x\). Il s'annule pour \(x = 2\). Le coefficient directeur est \(a = -1 < 0\), donc ce facteur est positif avant \(2\) et négatif après.

On construit ensuite un tableau en plaçant les racines \(\frac{1}{5}\) et \(2\) dans l'ordre croissant. On déduit le signe du produit \(A(x)\) en appliquant la règle des signes pour la multiplication sur chaque intervalle.

• Pour \(x \in ]-\infty, \frac{1}{5}[\), \(A(x)\) est le produit d'un négatif et d'un positif, donc \(A(x) < 0\).
• Pour \(x \in ]\frac{1}{5}, 2[\), \(A(x)\) est le produit d'un positif et d'un positif, donc \(A(x) > 0\).
• Pour \(x \in ]2, +\infty[\), \(A(x)\) est le produit d'un positif et d'un négatif, donc \(A(x) < 0\).

Ce contrôle de maths est un excellent résumé des compétences à maîtriser sur les fonctions affines en classe de Seconde.