Contrôle Corrigé de Maths Seconde sur la Résolution d'Inéquations

Ce sujet de maths de niveau Seconde est une évaluation complète de 2 heures sur le chapitre fondamental de la résolution d'inéquations. Il constitue un excellent support pour s'entraîner et réviser les différentes techniques requises. Ce contrôle aborde les inéquations linéaires, les tableaux de signes pour les produits et quotients, les inéquations avec valeur absolue, ainsi que des problèmes concrets nécessitant factorisation et mise en équation.

Ce document est un contrôle corrigé idéal pour les élèves de Seconde souhaitant consolider leurs acquis et se préparer efficacement à leur prochaine évaluation. Chaque exercice est conçu pour tester une compétence spécifique, avec une difficulté progressive.

Exercice 1 : Inéquations linéaires (Technique de base)

Cet exercice d'introduction vise à vérifier la maîtrise des techniques de base pour la résolution d'inéquations du premier degré. Les élèves doivent être capables d'isoler l'inconnue x en respectant les règles de manipulation des inégalités, notamment le changement de sens lors de la multiplication ou de la division par un nombre négatif.

• Questions a) et b) : Résolution d'inéquations simples comme \( -3 - 4x > 5 \).
• Question d) : Nécessite un développement préalable de l'expression \( 2(x-3) \).
• Questions c) et e) : Impliquent la gestion de fractions, comme dans \( \frac{x-3}{4} < \frac{5-7x}{3} \), ce qui demande de mettre les termes au même dénominateur avant de résoudre.

Exercice 2 : Étude de signes (Tableaux de signes)

Le cœur du chapitre. Cet exercice est centré sur l'utilisation du tableau de signes pour résoudre des inéquations produits et quotients. La méthode est systématique :

1. Rechercher les valeurs qui annulent chaque facteur (les racines).
2. Pour les quotients, identifier les valeurs interdites qui annulent le dénominateur.
3. Construire un tableau avec une ligne pour chaque facteur et une ligne pour le bilan (le signe du produit ou du quotient).
4. Conclure en donnant l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

L'exercice traite des cas comme \( (x-2)(3+2x) \le 0 \) et des inéquations quotients plus complexes telles que \( \frac{(1-x)(2x+3)}{2x+1} \ge 0 \).

Exercice 3 : Valeur absolue

Cet exercice aborde les inéquations impliquant la valeur absolue. Il est conseillé d'utiliser l'interprétation géométrique en termes de distance. Par exemple, l'inéquation \( |x - 15| > 7 \) se traduit par "la distance entre le nombre x et 15 est strictement supérieure à 7". Cela permet de visualiser les solutions sur un axe numérique et de les transcrire en intervalles. Les cas \( |X| \le a \) et \( |X| > a \) sont tous deux explorés.

Exercice 4 : Factorisation et Inéquations

Cet exercice crucial lie l'algèbre (factorisation) à la résolution d'inéquations. La stratégie consiste toujours à se ramener à une inéquation dont le second membre est nul, puis à factoriser l'expression obtenue pour utiliser un tableau de signes.

• La première question, \( (-2x+4)^2 \ge (-2x+4)(x-1) \), se résout en identifiant un facteur commun.
• La seconde, \( (3x-7)^2 < (5x-9)^2 \), fait appel à l'identité remarquable \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) pour factoriser l'expression.

C'est un test de la capacité à reconnaître la bonne stratégie de factorisation avant d'appliquer la méthode du tableau de signes.

Exercice 5 : Démonstration et déduction

Structuré en deux temps, cet exercice évalue la rigueur du calcul littéral et la capacité à faire des liens logiques. Il faut d'abord prouver une égalité en développant et simplifiant les expressions. Ensuite, cette égalité est utilisée pour transformer une inéquation d'apparence complexe, \( (-2x+1)(x-3) \ge -25 \), en une inéquation produit standard \( (-2x+11)(x+2) \ge 0 \) qu'il suffit de résoudre avec un tableau de signes.

Exercice 6 : Problème d'aire (Géométrie et factorisation)

Ce problème concret illustre l'application des inéquations à une situation géométrique. L'élève doit :

1. Modéliser le problème : exprimer l'aire de la partie grisée \( A(x) \) en fonction de x. Ici, \( A(x) = 5^2 - x^2 \).
2. Traduire la condition en inéquation : poser l'inéquation \( A(x) > x+5 \).
3. Résoudre l'inéquation : cela implique de manipuler l'expression, de la factoriser (en utilisant à nouveau une identité remarquable puis un facteur commun), et de dresser un tableau de signes.
4. Conclure en tenant compte du contexte : la solution mathématique doit être confrontée au domaine de définition de x, qui est ici l'intervalle \( ]0; 5[ \).

Exercice 7 : Le coin du chercheur

Cet dernier exercice est le plus technique. Il s'agit de résoudre une inéquation rationnelle complexe : \( \frac{1}{x+2} - 1 \le \frac{4}{4-x^2} \). La résolution exige de la méthode et de la rigueur :

• Identifier toutes les valeurs interdites.
• Tout ramener dans un seul membre pour comparer à zéro.
• Factoriser le dénominateur \( 4-x^2 \) pour trouver le dénominateur commun.
• Mettre toutes les fractions au même dénominateur, simplifier le numérateur.
• Dresser le tableau de signes de la fraction rationnelle obtenue.