Ce document présente un sujet de contrôle de mathématiques pour la classe de Seconde, centré sur le chapitre de l'arithmétique. Cette évaluation d'une heure est une excellente ressource pour les élèves souhaitant réviser et s'entraîner sur les notions fondamentales de divisibilité, les nombres premiers, la décomposition en facteurs premiers, et le raisonnement par démonstration. Chaque exercice est conçu pour tester une compétence clé du programme. Ce sujet de maths avec corrigé implicite est idéal pour se préparer efficacement à une évaluation en classe.

Exercice 1 : Vrai ou Faux sur les Multiples et Diviseurs

Cet exercice d'introduction est un questionnaire à choix multiples (QCM) de type "vrai ou faux" qui balaye les définitions de base de l'arithmétique. Il permet de vérifier la compréhension des concepts de multiples et de diviseurs ainsi que la maîtrise des critères de divisibilité.

• Multiples : La première question demande si 132 est un multiple de 4, 3, 9, 132 et 0. Elle teste directement la définition (un nombre $a$ est un multiple de $b$ s'il existe un entier $k$ tel que $a=kb$) et les critères de divisibilité par 3 et 9 (somme des chiffres) et par 4 (deux derniers chiffres).
• Diviseurs : La deuxième question vérifie si 6 est un diviseur de 6, 1, 18 et 56. C'est l'application directe de la définition d'un diviseur.
• Propriétés des multiples : La troisième question aborde une propriété essentielle : la somme de deux multiples d'un entier $n$ est également un multiple de $n$. Ici, en ajoutant deux multiples de 9, on obtient nécessairement un multiple de 9.
• Critères de divisibilité : La dernière question met en application les critères de divisibilité sur un très grand nombre (1 234 567 891 234 567 890). Il faut utiliser les règles pour la divisibilité par 2, 3, 5, 9 et 11 pour déterminer les bonnes réponses.

Exercice 2 : Décomposition en Produit de Facteurs Premiers

Compétence fondamentale en arithmétique, la décomposition en produit de facteurs premiers est au cœur de cet exercice. Il est demandé de décomposer les nombres 1998, 112, 490 et 530. Cette technique consiste à écrire un entier comme un produit unique de nombres premiers. Par exemple, pour 112, on procéderait ainsi : $112 = 2 \times 56 = 2 \times 2 \times 28 = 2^3 \times 4 \times 7 = 2^3 \times 2^2 \times 7 = 2^5 \times 7$. La maîtrise de cette méthode est indispensable pour la simplification de fractions ou le calcul du PPCM et du PGCD.

Exercice 3 : Démonstration sur la Parité

Cet exercice est une introduction au raisonnement mathématique et à la démonstration. L'objectif est de prouver que la somme de deux nombres impairs est toujours un nombre pair. Pour cela, il faut utiliser la représentation algébrique des nombres pairs et impairs. Un nombre impair peut s'écrire sous la forme $2k+1$, où $k$ est un entier. La démonstration consiste à poser deux nombres impairs, $a=2k+1$ et $b=2k'+1$, à les additionner et à montrer que le résultat peut s'écrire sous la forme $2n$, caractéristique d'un nombre pair : $a+b = (2k+1) + (2k'+1) = 2k+2k'+2 = 2(k+k'+1)$.

Exercice 4 : Propriétés Algébriques des Multiples

Cet exercice approfondit la manipulation des multiples à un niveau plus algébrique. Étant donné $a$ un multiple de 8 et $b$ un multiple de 4, il faut démontrer certaines propriétés de leurs combinaisons.

• On commence par traduire l'énoncé en langage mathématique : $a=8k$ et $b=4k'$ pour des entiers $k$ et $k'$.
• Ensuite, on doit montrer que l'expression $C = a - 2b$ est un multiple de 8. En substituant, on obtient $C = 8k - 2(4k') = 8k - 8k' = 8(k-k')$, ce qui prouve bien que $C$ est un multiple de 8.
• Enfin, il faut montrer que le produit $D = ab$ est un multiple de 16. Le calcul donne $D = (8k)(4k') = 32kk'$. Comme 32 est un multiple de 16 ($32 = 16 \times 2$), $D$ est bien un multiple de 16.

Exercice 5 : Recherche de Diviseurs

Retour aux bases avec cet exercice qui demande de lister l'ensemble des diviseurs de deux nombres. Il est important de bien faire la distinction entre les types de diviseurs demandés.

• Diviseurs entiers relatifs de 11 : Le nombre 11 est premier, il n'a donc que quatre diviseurs dans l'ensemble $\mathbb{Z}$ : $\{-11, -1, 1, 11\}$.
• Diviseurs entiers naturels de 24 : Pour le nombre 24, il faut trouver tous les entiers positifs qui le divisent. La liste est : $\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$.

Exercice 6 : Division Euclidienne

L'exercice 6 porte sur la division euclidienne, une opération fondamentale en arithmétique. Pour deux entiers $a$ (dividende) et $b$ (diviseur), il s'agit de trouver l'unique couple d'entiers $(q, r)$ (quotient et reste) tel que $a = bq + r$ avec $0 \le r < |b|$. Les cas à traiter sont :

• $a = 36036$ et $b = 75$
• $a = 1715$ et $b = 33$
• $a = 8$ et $b = 125$ (un cas particulier où le dividende est plus petit que le diviseur, donc $q=0$ et $r=a$).

Exercice 7 : Problème de Synthèse

Ce dernier exercice est un problème complet qui mobilise plusieurs compétences. Il faut trouver tous les nombres entiers naturels $m$ inférieurs à 1000 qui respectent simultanément quatre conditions : être pair, être divisible par 3, par 5, et être un multiple de 11. Pour résoudre ce problème, il faut comprendre qu'un tel nombre doit être un multiple commun à 2, 3, 5 et 11. On cherche donc les multiples du Plus Petit Commun Multiple (PPCM) de ces nombres. Comme 2, 3, 5 et 11 sont des nombres premiers entre eux, leur PPCM est simplement leur produit : $PPCM(2,3,5,11) = 2 \times 3 \times 5 \times 11 = 330$. Il ne reste plus qu'à lister les multiples de 330 qui sont inférieurs à 1000 : 330, 660, et 990.