Découvrez notre sujet de maths de niveau Première (spécialité), une évaluation complète d'une heure dédiée au chapitre des fonctions trigonométriques. Ce contrôle corrigé est l'outil idéal pour les élèves souhaitant réviser et s'évaluer sur les concepts clés du cercle trigonométrique, des angles associés et de l'étude de fonctions cosinus. Chaque exercice est conçu pour renforcer des compétences spécifiques, allant du placement de points sur le cercle à l'analyse graphique d'une fonction.
Ce document est une ressource pédagogique précieuse, que vous soyez élève en quête d'entraînement avant un examen, ou enseignant à la recherche d'un support de cours. Le corrigé détaillé, non inclus ici mais souvent associé, vous permettra de comprendre vos erreurs et de progresser efficacement.
Exercice 1 : Placement de points sur le cercle trigonométrique
Le premier exercice est un classique fondamental pour maîtriser la trigonométrie. L'objectif est de placer avec précision quatre points, A, B, C, et D, sur le cercle trigonométrique. Ces points correspondent à des angles donnés en radians :
- Point A : $ A(\frac{2\pi}{3}) $
- Point B : $ B(\frac{17\pi}{6}) $
- Point C : $ C(-\frac{25\pi}{3}) $
- Point D : $ D(-\frac{45\pi}{12}) $
Pour réussir cet exercice, il ne suffit pas de connaître les angles remarquables. Il faut également savoir manipuler des angles qui ne sont pas dans l'intervalle $ ]-\pi; \pi] $. La compétence clé ici est la recherche de la mesure principale d'un angle en ajoutant ou en soustrayant des multiples de $ 2\pi $. Par exemple, pour le point B, on doit simplifier $ \frac{17\pi}{6} $ pour trouver son équivalent sur le premier tour du cercle. De même pour les angles négatifs comme C et D, il faudra se ramener à une mesure plus familière pour un placement exact.
Exercice 2 : Relation fondamentale et résolution d'équation
Cet exercice teste la compréhension de la relation la plus importante en trigonométrie : $ \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 $. On vous donne la valeur du cosinus d'un angle $ x $, $ \cos(x) = 0,4 $, ainsi qu'un encadrement pour cet angle : $ -\pi < x < 0 $.
La première question demande de calculer une valeur approchée de $ \sin(x) $. En utilisant la formule fondamentale, on trouve $ \sin^2(x) = 1 - (0,4)^2 = 0,84 $. L'enjeu est de choisir le bon signe pour $ \sin(x) $. L'encadrement $ -\pi < x < 0 $ nous place dans les quadrants 3 et 4 du cercle trigonométrique, là où le sinus est négatif. Donc, $ \sin(x) = -\sqrt{0,84} $. La deuxième question consiste à déduire une valeur approchée de $ x $ en utilisant les fonctions trigonométriques inverses de la calculatrice (comme Arccos ou Arcsin).
Exercice 3 : Utilisation des angles associés
L'exercice 3 approfondit la manipulation du cercle trigonométrique. On part d'un point A, associé à un réel $ x $ dont on connaît le cosinus et le sinus ($ \cos(x) = 0,8 $ et $ \sin(x) = 0,6 $).
Les questions sont les suivantes :
- Placer approximativement le point A sur le cercle.
- Placer les points B et C correspondant aux réels $ x + \pi $ et $ \pi - x $.
- Donner le cosinus et le sinus de ces deux nouveaux réels.
Cet exercice met en jeu la connaissance des formules des angles associés. Il faut savoir que $ \cos(x+\pi) = -\cos(x) $, $ \sin(x+\pi) = -\sin(x) $, $ \cos(\pi-x) = -\cos(x) $ et $ \sin(\pi-x) = \sin(x) $. Ces relations permettent de déduire les coordonnées des points B et C à partir de celles du point A, et de comprendre les symétries qui existent sur le cercle trigonométrique (symétrie centrale pour $ x+\pi $, symétrie axiale par rapport à l'axe des ordonnées pour $ \pi-x $).
Exercice 4 : Étude complète d'une fonction trigonométrique
Le dernier exercice est une petite étude de la fonction $ f(x) = -5 \cos(x) $. Il s'agit d'une application directe des propriétés des fonctions cosinus et sinus.
- Parité de la fonction : En calculant $ f(-x) $, on utilise la parité de la fonction cosinus ($ \cos(-x) = \cos(x) $) pour montrer que $ f(-x) = f(x) $. On en déduit que la fonction $ f $ est paire et que sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
- Périodicité : Le calcul de $ f(x + 2\pi) $ permet de vérifier la $ 2\pi $-périodicité de la fonction. Cela signifie que la courbe de la fonction se répète à l'identique tous les $ 2\pi $.
- Calcul de valeurs et tracé : Il est demandé de calculer les images de plusieurs angles remarquables comme $ 0, \pi/4, \pi/2, 3\pi/4 $. Ces points serviront de repères pour tracer l'allure de la courbe de la fonction $ f $ sur l'intervalle $ [-\pi; \pi] $, en tenant compte de la parité établie précédemment.
Ce contrôle de maths est un excellent résumé du chapitre de trigonométrie en Première. Il aborde des compétences essentielles pour la suite du lycée, notamment en vue de l'épreuve de spécialité du baccalauréat.