Découvrez un sujet de contrôle complet sur les polynômes du second degré, spécialement conçu pour les élèves de Première en spécialité mathématiques. Cette évaluation d'une heure, accompagnée de son corrigé détaillé, permet de tester et de valider les compétences essentielles du chapitre. Le sujet est structuré en quatre exercices variés, allant du QCM graphique à la résolution de problèmes concrets, offrant ainsi une préparation optimale pour les examens.
Ce document est une ressource pédagogique idéale pour réviser les notions de forme canonique, forme factorisée, discriminant, tableau de variation, résolution d'équations et d'inéquations du second degré, et leur application dans des contextes réels.
Exercice 1 : QCM d'analyse graphique (3 points)
Ce premier exercice est un questionnaire à choix multiples qui évalue la capacité à interpréter graphiquement la courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré. À partir d'une parabole donnée, il faut identifier sans calcul :
- La forme canonique : En se basant sur les coordonnées du sommet de la parabole, $(\alpha, \beta)$, et l'orientation de celle-ci (vers le haut ou vers le bas, déterminant le signe de $a$), l'élève doit choisir la bonne expression parmi quatre propositions de la forme $a(x-\alpha)^2 + \beta$.
- Le signe du discriminant : L'observation du nombre de points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses permet de déduire directement le signe du discriminant $\Delta$. Deux points d'intersection distincts impliquent un discriminant strictement positif.
- La forme factorisée : En lisant les abscisses des points d'intersection (les racines $x_1$ et $x_2$) sur le graphique, il est possible de retrouver la forme factorisée $a(x-x_1)(x-x_2)$ de la fonction.
Exercice 2 : Étude approfondie d'une fonction (9,5 points)
Cet exercice central porte sur l'étude analytique complète de la fonction $f$ définie par $f(x) = -2x^2 - 8x + 42$. Il s'agit de mobiliser toutes les techniques calculatoires du chapitre :
- Détermination de la forme canonique : Une question de calcul fondamentale pour trouver l'expression de $f(x)$ sous la forme $a(x-\alpha)^2 + \beta$.
- Tableau de variation : À partir du signe de $a$ et des coordonnées du sommet déduites de la forme canonique, il faut dresser le tableau de variation complet de la fonction $f$.
- Résolution d'inéquation : La résolution de l'inéquation $f(x) < 0$ demande de calculer les racines du polynôme (en utilisant le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$) puis de construire un tableau de signe.
- Axe de symétrie et sommet : Il s'agit de donner précisément les coordonnées du sommet et l'équation de l'axe de symétrie de la parabole, informations directement lisibles depuis la forme canonique.
- Intersection de deux courbes : La dernière question demande de trouver les coordonnées des points d'intersection de la parabole de $f$ avec celle de la fonction $g(x) = -x^2 - 8x - 7$. Cela revient à résoudre l'équation $f(x) = g(x)$, qui se simplifie en une équation du second degré.
Exercice 3 : Mise en situation - Lancer de balle (4,5 points)
Ce problème concret applique les outils du second degré à une situation de la vie courante. La hauteur d'une balle lancée en l'air est modélisée par la fonction $h(t) = -5t^2 + 17t + 1,75$, où $t$ est le temps en secondes. Les questions posées sont :
- Calculer la hauteur initiale (à $t=0$) et à un instant donné ($t=2$ s).
- Déterminer l'instant où la balle touche le sol, ce qui correspond à la résolution de l'équation $h(t) = 0$.
- Trouver à quel moment la balle repasse par sa hauteur de départ, ce qui mène à résoudre l'équation $h(t) = h(0)$.
Cet exercice est parfait pour comprendre l'utilité des polynômes du second degré dans la modélisation de phénomènes physiques.
Exercice 4 : Problème arithmétique (3 points)
Le dernier exercice est un défi de mise en équation. Il s'agit de "Déterminer deux nombres entiers consécutifs sachant que leur produit est 702". La traduction de cet énoncé en langage mathématique mène à l'équation $n(n+1) = 702$, qui est une équation du second degré de la forme $n^2 + n - 702 = 0$. Sa résolution via le calcul du discriminant permet de trouver les couples d'entiers solutions.