Ce document est une analyse pédagogique détaillée d'un contrôle de mathématiques de niveau Première (spécialité), centré sur le chapitre des polynômes du second degré. Ce sujet d'évaluation, d'une durée d'une heure, couvre les compétences fondamentales liées aux trinômes, de la résolution d'équations à l'étude de fonctions et la modélisation de problèmes concrets. Retrouvez ici une analyse exercice par exercice pour comprendre les attendus et maîtriser les savoir-faire essentiels. Ce corrigé est idéal pour les élèves qui souhaitent s'entraîner et réviser ce chapitre clé du programme.

Exercice 1 : Maîtrise des formules et résolution d'équations

Cet exercice de 7 points vise à évaluer les bases de la résolution d'équations du second degré de la forme $ax^2 + bx + c = 0$.

• Question 1 : Il s'agit d'un rappel de cours fondamental. L'élève doit énoncer la méthode de résolution générale, qui repose sur le calcul du discriminant, noté $\Delta$. La formule est $\Delta = b^2 - 4ac$. En fonction du signe de $\Delta$, on peut déterminer le nombre de solutions réelles :
  • Si $\Delta > 0$, il y a deux solutions distinctes : $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
  • Si $\Delta = 0$, il y a une unique solution (dite double) : $x_0 = \frac{-b}{2a}$.
  • Si $\Delta < 0$, il n'y a pas de solution dans l'ensemble des réels $\mathbb{R}$.
• Question 2 : Cette question est une application directe de la méthode. Quatre équations sont proposées pour tester la capacité de l'élève à s'adapter à différents cas de figure :
  • a) $x^2 - x + 6 = 0$ : Un cas classique où $\Delta < 0$, donc pas de solution réelle.
  • b) $3x^2 - 15 = 0$ : Une équation incomplète ($b=0$) qui peut se résoudre rapidement sans discriminant, ou avec $\Delta > 0$.
  • c) $3x^2 + 4x - 1 = 0$ : Un cas standard avec $\Delta > 0$ et deux solutions réelles.
  • d) $\frac{1}{3}x^2 + x - 6 = 0$ : Un cas avec des coefficients fractionnaires, testant l'aisance de calcul.

Exercice 2 : Étude complète d'une fonction polynôme

Cet exercice de 6 points se concentre sur l'étude de la fonction $f(x) = x^2 - 5x + 6$. Il s'agit de mobiliser plusieurs outils d'analyse des fonctions du second degré.

• Question 1 : Résoudre $f(x) = 0$ revient à trouver les racines du polynôme, c'est-à-dire les abscisses des points d'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses.
• Question 2 : La mise sous forme canonique $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ est une compétence centrale. Pour $f(x) = x^2 - 5x + 6$, on trouve $\alpha = -\frac{-5}{2 \times 1} = \frac{5}{2}$ et $\beta = f(\frac{5}{2}) = -\frac{1}{4}$, d'où la forme canonique $f(x) = (x - \frac{5}{2})^2 - \frac{1}{4}$.
• Question 3 : La forme canonique permet de déduire directement les propriétés géométriques de la parabole $\mathcal{P}$ :
  • a) Le sommet de la parabole a pour coordonnées $S(\alpha, \beta)$, soit $S(\frac{5}{2}, -\frac{1}{4})$, et l'axe de symétrie est la droite verticale d'équation $x = \alpha$, soit $x=\frac{5}{2}$.
  • b) Le tableau de variation de $f$ se déduit du signe de $a$ (ici $a=1>0$) et du sommet. La fonction est donc décroissante sur $]-\infty; \frac{5}{2}]$ et croissante sur $[\frac{5}{2}; +\infty[$, avec un minimum de $-\frac{1}{4}$ atteint en $x=\frac{5}{2}$.
  • c) La résolution de l'équation $f(x) = -\frac{1}{4}$ est grandement simplifiée par la forme canonique, et mène à la solution unique $x=\frac{5}{2}$, l'abscisse du sommet.

Exercice 3 : Problème de modélisation

Cet exercice de 4 points est un problème concret qui demande de traduire un énoncé géométrique en une équation du second degré. C'est une application directe des mathématiques à une situation réelle.

• L'objectif est de trouver la valeur de $x$ pour laquelle l'aire de la partie colorée est égale à l'aire de la partie blanche.
• Mise en équation : Il faut d'abord exprimer l'aire de la partie colorée (une croix) en fonction de $x$. L'aire est $A_{colorée} = 10x + 10x - x^2 = 20x - x^2$.
• L'aire totale du carré est $100$ cm². La condition "aire colorée = aire blanche" signifie que l'aire colorée est la moitié de l'aire totale, soit $50$ cm².
• On doit donc résoudre l'équation $20x - x^2 = 50$, qui se réécrit $x^2 - 20x + 50 = 0$.
• Résolution et interprétation : On résout cette équation à l'aide du discriminant. Il est crucial de vérifier que les solutions trouvées sont physiquement possibles (ici $0 < x < 5$). Seule une des deux solutions mathématiques sera retenue.

Exercice 4 : Logique et propriétés du trinôme

Ce dernier exercice de 3 points évalue la compréhension théorique des propriétés des polynômes du second degré en liant le signe du discriminant, le signe du trinôme et le signe de ses coefficients.

• Affirmation 1 : "Si, pour tout réel $x$, $ax^2 + bx + c < 0$ alors $\Delta < 0$". Cette affirmation est vraie. Si le trinôme est toujours strictement négatif, sa courbe représentative est une parabole entièrement située sous l'axe des abscisses. Elle ne coupe donc jamais cet axe, ce qui signifie que l'équation $ax^2 + bx + c = 0$ n'a aucune solution réelle, et donc $\Delta < 0$.
• Affirmation 2 : "Si $a$ et $c$ sont de signes opposés alors $ax^2 + bx + c$ a toujours des racines". Cette affirmation est également vraie. Pour le justifier, on examine le signe du discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$. Le terme $b^2$ est toujours positif ou nul. Si $a$ et $c$ sont de signes contraires, leur produit $ac$ est négatif. Par conséquent, $-4ac$ est strictement positif. $\Delta$ est donc la somme d'un nombre positif ou nul et d'un nombre strictement positif, ce qui garantit que $\Delta > 0$. L'équation admet donc toujours deux racines réelles distinctes.