Ce document est un sujet de contrôle de mathématiques pour le niveau Seconde, axé sur le chapitre des pourcentages et taux d'évolution. D'une durée de 30 minutes, cette évaluation couvre les compétences fondamentales de l'analyse des variations, des évolutions successives et réciproques. C'est un excellent support pour s'entraîner et vérifier sa compréhension des coefficients multiplicateurs.
Ce corrigé détaillé vous guidera à travers chaque exercice, en explicitant les méthodes de calcul et les raisonnements à appliquer. Les thèmes abordés sont essentiels pour la poursuite d'études en filière scientifique et économique.
Exercice 1 : Variation absolue et variation relative
Cet exercice d'introduction pose les bases du chapitre. À partir d'une situation simple (l'évolution du nombre d'élèves dans une école), il est demandé de calculer deux indicateurs clés :
- La variation absolue : il s'agit de la différence entre la valeur finale et la valeur initiale. Si $V_i$ est la valeur initiale et $V_f$ la valeur finale, la variation absolue est $V_f - V_i$.
- La variation relative (ou taux d'évolution) : elle mesure l'évolution proportionnellement à la valeur de départ. La formule est $\frac{V_f - V_i}{V_i}$. Le résultat est ensuite exprimé en pourcentage.
Cet exercice permet de s'assurer que les définitions fondamentales sont maîtrisées avant d'aborder des problèmes plus complexes.
Exercice 2 : Pourcentages de pourcentages
Cet exercice aborde une situation classique de proportions de proportions. Dans une population d'élèves de seconde composée de filles et de garçons, une partie de chaque sous-groupe suit une option. Pour calculer le pourcentage total d'élèves suivant l'option, il faut :
- Déterminer la proportion de chaque sous-groupe (ici, 56% de filles implique 44% de garçons).
- Appliquer le pourcentage correspondant à chaque sous-groupe (40% des filles et 20% des garçons).
- Additionner les proportions obtenues pour trouver la proportion globale. Par exemple, $P_{total} = P(F) \times P_{musique}(F) + P(G) \times P_{musique}(G)$.
La modélisation via un arbre pondéré ou un tableau est souvent une méthode efficace pour résoudre ce type de problème.
Exercice 3 : Évolutions successives
Cet exercice se concentre sur l'application de plusieurs évolutions successives, ici deux remises. La compétence principale est de comprendre que les pourcentages de réduction ne s'additionnent pas.
- Calcul du taux global : Pour trouver l'effet combiné de deux évolutions, on multiplie leurs coefficients multiplicateurs. Une baisse de 30% correspond à un CM de $1 - 0.30 = 0.70$. Une baisse de 10% correspond à un CM de $1 - 0.10 = 0.90$. Le coefficient multiplicateur global est donc $CM_{global} = 0.70 \times 0.90 = 0.63$, ce qui équivaut à une baisse de 37%.
- Calcul de prix initial et final : L'exercice demande également de manipuler les formules pour retrouver une valeur initiale à partir d'une valeur intermédiaire ($V_i = \frac{V_f}{CM}$) et de calculer une valeur finale.
Exercice 4 : Taux d'évolution réciproque
Le dernier exercice traite du concept de taux d'évolution réciproque. Il s'agit de déterminer le taux d'évolution nécessaire pour annuler une évolution précédente et revenir à la valeur de départ. Si un chiffre d'affaires a diminué de 7% (CM = 0.93), le coefficient multiplicateur réciproque pour revenir à la normale est $CM_{rec} = \frac{1}{0.93}$. Le taux d'évolution correspondant est alors $(CM_{rec} - 1) \times 100$. Cet exercice permet de bien comprendre qu'une baisse de $t\%$ n'est pas compensée par une hausse de $t\%$.