Contrôle Corrigé de Maths Première sur la Dérivation et l'Étude de Fonctions

Découvrez notre sujet de contrôle de mathématiques pour la classe de Première, spécialité maths, entièrement dédié au chapitre sur la dérivation et ses applications. Cette évaluation d'une heure, accompagnée de son corrigé détaillé, est l'outil parfait pour réviser et maîtriser les concepts clés : calcul de dérivées, lecture graphique, étude de variations de fonctions et équation de la tangente. Préparez-vous efficacement à vos examens avec ce sujet de maths complet.

Exercice 1 : Maîtrise des Formules de Dérivation

Cet exercice de 7 points est un excellent entraînement pour valider votre connaissance des formules de dérivation. Il vous est demandé de déterminer l'ensemble de définition, l'ensemble de dérivabilité, puis de calculer la fonction dérivée \(f'(x)\) pour trois fonctions aux profils variés :

• Fonction produit : Pour \(f(x) = (2x - 3) \times \sqrt{x}\), il faut appliquer la formule de dérivation d'un produit \((uv)' = u'v + uv'\), tout en faisant attention au domaine de définition et de dérivabilité de la fonction racine carrée.
• Fonction inverse d'un polynôme : Avec \(f(x) = \frac{1}{x^2 - 5x + 8}\), la compétence testée est la dérivation d'une fonction de type \(\frac{1}{v}\), dont la dérivée est \(-\frac{v'}{v^2}\). Une analyse préalable du signe du dénominateur est nécessaire pour déterminer l'ensemble de définition.
• Fonction rationnelle : La fonction \(f(x) = \frac{-3x + 1}{x^2 - 2}\) requiert l'utilisation de la formule du quotient \((\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\). C'est un classique incontournable du chapitre sur la dérivation.

Exercice 2 : Interprétation Graphique du Nombre Dérivé

Ce deuxième exercice (5,5 points) se concentre sur les compétences d'analyse graphique. À partir de la courbe représentative d'une fonction \(f\) et de ses tangentes en plusieurs points, vous devrez :

1. Déterminer des valeurs par lecture graphique : Il s'agit de lire l'image d'un point, comme \(f(2)\), mais surtout d'interpréter le nombre dérivé comme le coefficient directeur (la pente) de la tangente à la courbe. Vous devrez trouver \(f'(-1)\) et \(f'(1)\). Un cas particulier est la tangente horizontale, qui indique un nombre dérivé nul.
2. Résoudre des inéquations graphiquement : Cette question teste votre compréhension du lien fondamental entre une fonction et sa dérivée.
   • Résoudre \(f(x) > 0\) revient à identifier les intervalles où la courbe de \(f\) se situe au-dessus de l'axe des abscisses.
   • Résoudre \(f'(x) > 0\) consiste à trouver les intervalles où la fonction \(f\) est strictement croissante.
   • Résoudre \(f'(x) = 0\) amène à repérer les abscisses des points où la tangente est horizontale, correspondant aux extrema locaux de la fonction.

Exercice 3 : Étude Complète d'une Fonction et Tangente

L'exercice 3 (7,5 points) est un problème complet d'étude de fonction, un grand classique des évaluations de Première. On étudie la fonction rationnelle \(f\) définie par \(f(x) = \frac{-x^2 + 4x - 7}{3 - x}\).

Les étapes de l'étude sont guidées :

• Calcul de la dérivée : La première question demande de démontrer que l'expression de la dérivée est bien \(f'(x) = \frac{x^2 - 6x + 5}{(3 - x)^2}\). C'est une application directe de la dérivation d'un quotient.
• Étude des variations et recherche d'extrema : À partir du signe de la dérivée \(f'(x)\), vous devrez dresser le tableau de variations complet de la fonction \(f\). Le signe de \(f'(x)\) dépend uniquement de son numérateur, un polynôme du second degré qu'il faudra étudier. Cette étude vous permettra ensuite de déterminer si la fonction admet des extrema locaux (maximum ou minimum) et de donner leurs valeurs.
• Équation de la tangente : Pour finir, il vous est demandé de calculer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 2. Il faudra pour cela appliquer la formule \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\) en calculant au préalable les valeurs de \(f(2)\) et \(f'(2)\).

Ce contrôle corrigé sur la dérivation est donc un excellent moyen de s'assurer d'avoir bien compris tous les aspects du chapitre, du calcul technique à l'interprétation graphique.