Ce contrôle corrigé de mathématiques pour le niveau Première se concentre sur le chapitre fondamental des suites arithmétiques et géométriques. D'une durée d'une heure, cette évaluation est conçue pour tester la compréhension des définitions, des formules clés, ainsi que la capacité à modéliser des situations concrètes. C'est un excellent support pour s'entraîner et réviser avant un examen. Le sujet est divisé en trois exercices progressifs, balayant l'ensemble des compétences attendues sur ce chapitre.

Exercice 1 : Application directe des formules de cours

Cet exercice est un excellent point de départ pour vérifier la maîtrise des bases des suites numériques. Il est scindé en deux parties, chacune dédiée à un type de suite.

Partie 1 : La suite arithmétique

On étudie une suite arithmétique \((u_n)\) définie par sa raison \(r = -2\) et son premier terme \(u_1 = 0,5\). Les questions visent à évaluer les savoir-faire essentiels :

• Forme récurrente : Il s'agit d'écrire la relation de récurrence liant un terme à son précédent, soit \(u_{n+1} = u_n - 2\).
• Forme explicite : On demande d'exprimer le terme général \(u_n\) en fonction de \(n\). La formule à utiliser est \(u_n = u_1 + (n-1)r\), ce qui donne \(u_n = 0,5 - 2(n-1)\).
• Calcul d'un terme : Application directe de la formule explicite pour calculer \(u_{13}\).
• Sens de variation : L'étude du signe de la raison \(r < 0\) permet de conclure que la suite est strictement décroissante.
• Somme des termes : Il faut calculer la somme des 11 premiers termes, \(\sum_{k=1}^{11} u_k\), en utilisant la formule \(S_n = n \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}\).

Partie 2 : La suite géométrique

De manière similaire, on aborde une suite géométrique \((v_n)\) de raison \(q = \frac{1}{2}\) et de premier terme \(v_0 = -1\). Les questions sont symétriques à la première partie :

• Forme récurrente : Écrire la relation \(v_{n+1} = \frac{1}{2}v_n\).
• Forme explicite : Donner l'expression de \(v_n\) en fonction de \(n\) via la formule \(v_n = v_0 \times q^n\), soit \(v_n = -1 \times (\frac{1}{2})^n\).
• Calcul d'un terme : Calculer la valeur de \(v_{20}\).
• Sens de variation : L'analyse dépend ici du signe de \(v_0\) et de la position de \(q\) par rapport à 1. Comme \(v_0 < 0\) et \(0 < q < 1\), la suite est croissante.
• Somme des termes : Le calcul de la somme des 11 premiers termes \(\sum_{k=0}^{10} v_k\) se fait avec la formule \(S_n = \text{premier terme} \times \frac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}\).

Exercice 2 : Modélisation d'une production de bactéries

Ce deuxième exercice, plus complexe, est un problème de modélisation typique qui aboutit à une suite arithmético-géométrique. Le contexte est celui d'une culture de bactéries dont la masse augmente de 20% par jour, mais subit une perte fixe de 100g.

• Mise en équation : La première étape est de traduire l'énoncé en une relation de récurrence. Si \(u_n\) est la masse au jour \(n\), une augmentation de 20% correspond à multiplier par 1,2. On a donc \(u_{n+1} = 1,2u_n - 100\), avec un terme initial \(u_0 = 1000\) (1kg).
• Utilisation d'une suite auxiliaire : Pour étudier \((u_n)\), on introduit une suite auxiliaire \(v_n = u_n - 500\). Le but est de démontrer que \((v_n)\) est une suite géométrique. On calcule \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\) pour trouver sa raison.
• Forme explicite : Une fois la nature et les caractéristiques de \((v_n)\) établies, on peut trouver sa forme explicite, puis en déduire celle de \((u_n)\).
• Recherche de seuil : La question de savoir quand la masse dépassera 30 kg (30 000 g) se ramène à la résolution de l'inéquation \(u_n > 30000\).
• Limite de la suite : On demande de conjecturer la limite de la suite \((u_n)\). Comme la raison de la suite auxiliaire géométrique est 1,2 (>1), la suite tend vers l'infini.

Exercice 3 : Le pari du globetrotter

Le dernier exercice est un autre problème d'application, cette fois-ci modélisé par une suite géométrique. Un voyageur voit sa performance diminuer de 1% chaque jour.

• Modélisation : La distance \(d_n\) parcourue le n-ième jour forme une suite géométrique. Une diminution de 1% correspond à un coefficient multiplicateur de 0,99. On a donc \(d_{n+1} = 0,99 d_n\) avec \(d_1 = 50\) km. Il faut en déduire la forme explicite de \(d_n\).
• Calcul de la somme : On s'intéresse à la distance totale parcourue \(L_n = d_1 + d_2 + ... + d_n\). Cela correspond à la somme des termes d'une suite géométrique.
• Limite de la somme : Pour savoir si le pari de 5000 km est réalisable, on doit étudier la limite de \(L_n\) quand \(n\) tend vers l'infini. La formule de la somme infinie \(S = \frac{d_1}{1-q}\) donne ici exactement 5000. La conclusion est subtile : il s'en approchera sans jamais atteindre cette valeur.
• Utilisation de la calculatrice : La dernière question demande de trouver le nombre de jours nécessaires pour atteindre 4999 km, ce qui nécessite de résoudre \(L_n \geq 4999\) à l'aide de la calculatrice.

En résumé, ce sujet de maths Première est un excellent outil pour s'assurer d'avoir bien compris les mécanismes des suites arithmétiques, géométriques et arithmético-géométriques, ainsi que leur application dans des contextes variés.