Ce document est un sujet de contrôle de mathématiques pour le niveau Première spécialité, axé sur le chapitre fondamental des suites numériques. D'une durée d'une heure, cette évaluation couvre en profondeur les notions de suites arithmétiques et géométriques, depuis les calculs de base jusqu'à la résolution de problèmes complexes de modélisation. C'est un excellent support pour les élèves souhaitant s'entraîner, réviser et valider leurs acquis sur ce chapitre essentiel du programme.

Le contrôle est structuré en cinq exercices de difficulté progressive, permettant de balayer l'ensemble des compétences attendues :

• Calcul de termes spécifiques d'une suite arithmétique.
• Maîtrise des formules de somme des termes pour les suites arithmétiques et géométriques.
• Détermination des caractéristiques d'une suite géométrique (raison, premier terme) à partir de deux termes connus.
• Application des connaissances dans un problème de synthèse complet, modélisé par une suite arithmético-géométrique.

Découvrez ci-dessous l'analyse détaillée de chaque exercice de ce sujet de maths, pour une préparation optimale.

Exercice 1 : Suites arithmétiques (2 points)

Cet exercice d'introduction teste la maîtrise des formules de base des suites arithmétiques. Il s'agit de calculer un terme de rang élevé, \(u_{20}\), dans deux contextes différents.

1. La première question concerne une suite \((u_n)\) arithmétique de raison \(r = 3\) et dont on connaît le terme \(u_7 = 12\). Pour trouver \(u_{20}\), l'élève doit utiliser la formule explicite reliant deux termes d'une suite arithmétique : \(u_n = u_p + (n-p)r\). Ici, cela donne \(u_{20} = u_7 + (20-7) \times 3\).
2. La seconde question présente une suite \((u_n)\) définie par récurrence : \(u_0 = 3\) et \(u_{n+1} = u_n + 7\). Il faut d'abord reconnaître une suite arithmétique de raison \(r=7\) et de premier terme \(u_0=3\). Ensuite, on utilise la formule du terme général en fonction de \(n\) : \(u_n = u_0 + nr\), pour calculer \(u_{20}\).

Exercice 2 : Somme de termes d'une suite arithmétique (3 points)

Cet exercice se concentre sur une compétence clé : le calcul de la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique.

1. La première somme à calculer est \(S = 10 + 13 + 16 + \dots + 163\). La démarche consiste à identifier la nature de la suite (arithmétique de premier terme 10 et de raison 3), à déterminer le nombre de termes dans la somme, puis à appliquer la formule de la somme : \[S_n = \frac{\text{nombre de termes} \times (\text{premier terme} + \text{dernier terme})}{2}\]
2. La deuxième question demande de calculer la somme \(W\) des 100 premiers nombres pairs. Il faut modéliser cette situation par une suite arithmétique (par exemple, \(u_n = 2n\)) et appliquer la même formule de somme.

Exercice 3 : Suites géométriques (2 points)

Ce troisième exercice est le pendant de l'exercice 1 pour les suites géométriques. L'objectif est de retrouver les caractéristiques d'une suite géométrique \((v_n)\) (raison \(q\) et premier terme \(v_0\)) à partir de la connaissance de deux de ses termes, puis d'en déduire son expression explicite \(v_n\).

• Dans le cas a), avec \(v_3 = 6\) et \(v_8 = 1458\), on utilise la relation \(v_m = v_p \times q^{m-p}\) pour trouver la raison \(q\). Une fois \(q\) connue, on peut calculer \(v_0\) à partir de \(v_3\) avec la formule \(v_3 = v_0 \times q^3\).
• Le cas b) avec \(v_{21} = 65536\) et \(v_{23} = 262144\) se résout avec la même méthode.

Exercice 4 : Somme de termes d'une suite géométrique (3 points)

Similaire à l'exercice 2, cet exercice évalue la capacité à calculer la somme des termes d'une suite géométrique à l'aide de la formule dédiée : \[S_n = \text{premier terme} \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}\]

1. La première somme \(S = 2 + 6 + 18 + \dots + 13122\) est une suite géométrique de raison \(q=3\).
2. La deuxième somme \(T = 3 - 6 + 12 - 24 + \dots + 192\) est une suite géométrique dont la raison est négative (\(q=-2\)), ce qui induit une alternance de signes. La méthode reste identique : identifier la raison, le nombre de termes, et appliquer la formule.

Exercice 5 : Synthèse (7 points)

Ce dernier exercice est un problème complet qui mobilise toutes les connaissances sur les suites. Il s'agit d'un problème de modélisation menant à une suite arithmético-géométrique, un type de suite très fréquent en Première.

Le contexte est celui d'une surface de gazon envahie par des pissenlits. La suite \((p_n)\) modélise l'évolution de la surface de pelouse saine année après année.

1. Modélisation : La première étape consiste à traduire l'énoncé en langage mathématique. On calcule les premiers termes \(p_1\) et \(p_2\) pour comprendre le processus, puis on établit la relation de récurrence liant \(p_{n+1}\) à \(p_n\). Une diminution de 20% suivie d'un ajout fixe de 250 m² se traduit par l'équation \(p_{n+1} = 0.8 p_n + 250\).
2. Étude de la suite auxiliaire : Pour étudier cette suite arithmético-géométrique, on introduit une suite auxiliaire \((v_n)\) définie par \(v_n = p_n - 1250\). Il faut alors démontrer que \((v_n)\) est une suite géométrique en montrant que \(v_{n+1} = q \times v_n\).
3. Forme explicite : Une fois la nature de \((v_n)\) établie, on peut donner son expression explicite \(v_n = v_0 \times q^n\). En utilisant la relation entre \((p_n)\) et \((v_n)\), on en déduit la forme explicite de \((p_n)\) : \(p_n = v_n + 1250\).
4. Limite de la suite : La dernière question interroge sur le comportement de la suite à long terme. Il s'agit de calculer la limite de \((p_n)\) quand \(n\) tend vers l'infini. Comme la raison \(q=0.8\) est comprise entre -1 et 1, la limite de \(q^n\) est 0. On peut ainsi conclure sur la surface de pelouse à long terme.