Contrôle Corrigé sur les Suites Numériques - Niveau Première
Ce document est un sujet de contrôle de mathématiques destiné aux élèves de Première, spécialité mathématiques. Il porte sur le chapitre des généralités sur les suites numériques et couvre l'ensemble des compétences de base à maîtriser. Ce sujet d'une heure est composé de 5 exercices variés, permettant d'évaluer la compréhension des suites explicites et récurrentes, leur sens de variation, la conjecture de limites, la modélisation de problèmes concrets et l'algorithmique en Python.
Ce corrigé détaillé vous aidera à préparer vos évaluations et à consolider vos connaissances sur les suites.
Analyse détaillée des exercices
Exercice 1 : Étude de suites explicites (8 points)
Cet exercice se concentre sur l'étude de trois suites définies par une formule explicite. Il teste les compétences fondamentales d'analyse.
- Suite 1 : $(u_n)$ définie par $u_n = \frac{n+2}{n+1}$
- Calcul des premiers termes : $u_0, u_1, u_2$ et d'un terme de rang élevé $u_{99}$.
- Étude du sens de variation : il s'agit de démontrer que la suite est croissante ou décroissante. Les méthodes possibles sont l'étude du signe de la différence $u_{n+1} - u_n$ ou l'étude des variations de la fonction associée $f(x) = \frac{x+2}{x+1}$.
- Suite 2 : $(v_n)$ définie par $v_n = 3^n \times n$
- Détermination du sens de variation. Pour cette suite à termes positifs, la méthode la plus efficace est de comparer le quotient $\frac{v_{n+1}}{v_n}$ à 1.
- Suite 3 : $(w_n)$ définie par $w_n = -n^2 + 6n$
- Étude de la monotonie : la suite est associée à une fonction polynôme du second degré. L'étude de cette fonction permet de trouver que la suite est d'abord croissante, puis décroissante.
- Conjecture de la limite : à partir d'une représentation graphique des 100 premiers termes, il est demandé de conjecturer le comportement de la suite à l'infini, qui tend ici vers $-\infty$.
Exercice 2 : Suite récurrente et calculatrice (3 points)
Cet exercice aborde les suites définies par une relation de récurrence et l'utilisation de la technologie pour les explorer.
- La suite $(v_n)$ est définie par $v_0=3$ et $v_{n+1} = \frac{2v_n}{v_n^2+3}$.
- Calcul des deux premiers termes $v_1$ et $v_2$ à la main.
- Utilisation de la calculatrice en mode "suite" pour trouver des valeurs approchées de $v_{10}$ et $v_{100}$.
- Déduction d'une conjecture sur la limite de la suite en se basant sur les valeurs numériques obtenues.
Exercice 3 : Algorithmique et suites (2 points)
Cet exercice fait le lien indispensable entre les suites et la programmation, ici en langage Python.
- Analyse d'un algorithme simple qui utilise une boucle `for` pour calculer et afficher des valeurs.
- Il faut comprendre ce que l'algorithme affiche et en déduire l'expression explicite de la suite $(v_n)$ dont les termes sont générés, soit $v_n = n^2 + 2n$.
Exercice 4 : Modélisation d'une situation géométrique (2 points)
Cet exercice est un problème de modélisation. L'objectif est de traduire une situation concrète en langage mathématique à l'aide d'une suite.
- Une succession de figures est construite avec des allumettes.
- La tâche est de modéliser le nombre d'allumettes nécessaires à chaque étape par une suite $(u_n)$. Il faut identifier la logique de construction pour trouver une relation de récurrence ou une formule explicite pour $u_n$.
Exercice 5 : Modélisation et algorithme de seuil (5 points)
Cet exercice complet est un problème de modélisation sur l'évolution d'une population, menant à une suite arithmético-géométrique et à l'utilisation d'un algorithme de seuil.
- Le contexte est l'évolution d'une population de cétacés.
- Il faut justifier le calcul du premier terme de la suite, $u_1$, à partir de $u_0 = 3000$, d'une perte de 5% et d'un ajout de 80 individus.
- Déterminer la relation de récurrence qui lie $u_{n+1}$ et $u_n$, de la forme $u_{n+1} = a \times u_n + b$.
- Compléter un algorithme Python utilisant une boucle `while` pour trouver le rang `n` à partir duquel le nombre de cétacés devient inférieur à un seuil de 2000.
- Enfin, vérifier le résultat de l'algorithme en utilisant les fonctionnalités de la calculatrice.