Contrôle Corrigé de Mathématiques sur la Dérivation Locale - Niveau Première

Ce sujet de mathématiques pour la classe de Première en spécialité se concentre sur le chapitre de la dérivation locale. Il évalue la compréhension des concepts fondamentaux tels que le taux de variation, le nombre dérivé et son interprétation graphique en tant que pente de la tangente. Ce contrôle corrigé est une excellente ressource pour s'entraîner à calculer des nombres dérivés en utilisant la définition avec la limite, à interpréter graphiquement les informations sur une courbe et ses tangentes, et à déterminer l'équation d'une tangente.

Exercice 1 : Calcul du Nombre Dérivé avec la Définition

Cet exercice est une application directe du cours sur la dérivabilité en un point. Il faut revenir à la définition du nombre dérivé comme la limite du taux de variation.

• Question 1 : Pour la fonction polynôme \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \), on demande d'étudier la dérivabilité en \( a=1 \) et de calculer \( f'(1) \). La méthode consiste à calculer la limite du taux d'accroissement : \( \lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} \).
• Question 2 : Pour la fonction rationnelle \( g(x) = \frac{4}{x} \), la même démarche est à appliquer pour déterminer la dérivabilité en \( a=2 \) et trouver la valeur de \( g'(2) \).

Exercice 2 : Interprétation Graphique de la Dérivation

Cet exercice est centré sur les compétences d'analyse graphique. À partir de la courbe représentative d'une fonction \( C_f \) et de quatre de ses tangentes, il faut évaluer la véracité de plusieurs affirmations.

• Lecture du nombre dérivé : Il est demandé de trouver le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse -2, ce qui correspond à la valeur de \( f'(-2) \). Pour cela, on utilise les coordonnées de deux points par lesquels passe la tangente pour calculer sa pente.
• Résolution graphique d'équation : L'affirmation \( f'(x) = 0 \) admet exactement deux solutions sur \( [-3; 2] \) demande de repérer les points de la courbe où la tangente est horizontale. Le graphique montre un extremum local (minimum) où la tangente \( T_3 \) est horizontale, et un autre (maximum) dont l'existence est déduite de la variation de la pente des tangentes.
• Équation de la tangente : Il faut vérifier si l'équation réduite de la tangente \( T_4 \) est bien \( y = 16x - 29 \). Pour cela, on calcule le coefficient directeur de \( T_4 \) (qui est \( f'(2) \)) à l'aide des points donnés, puis on utilise l'un des points pour vérifier que l'équation est correcte.

Exercice 3 : Étude Complète autour de la Dérivabilité

Cet exercice aborde plusieurs aspects de la dérivation pour une fonction rationnelle \( f(x) = \frac{x+2}{2x-3} \).

• Question 1 & 2 : Après avoir déterminé l'ensemble de définition, il faut étudier la dérivabilité en \( x=2 \) en revenant à la définition du nombre dérivé.
• Question 3 : La question porte sur le calcul de l'équation de la tangente en un point d'abscisse \( a \) général, puis de l'appliquer pour \( a=2 \). Cela mobilise la formule \( y = f'(a)(x-a) + f(a) \).
• Question 4 : Cette question introduit la notion de position relative entre la courbe et sa tangente. Il faut étudier le signe de la différence \( d(x) = f(x) - y_{\text{tangente}} \) pour savoir où la courbe est au-dessus ou en dessous de sa tangente au voisinage du point.

Exercice 4 et Bonus : Taux de Variation et Tangentes Parallèles

Le dernier exercice, avec son bonus, approfondit la manipulation du taux d'accroissement.

• Question 1 & 2 : Pour la fonction \( f(x) = \frac{3x-1}{2x-5} \), on donne l'expression du taux de variation \( T(h) \) entre \( a \) et \( a+h \). Il faut en déduire le nombre dérivé \( f'(a) \) en calculant la limite de \( T(h) \) quand \( h \) tend vers 0.
• Question 3 : Une question classique qui consiste à trouver les points de la courbe où la tangente est parallèle à une droite donnée, ici \( y = -x \). Cela se traduit par la résolution de l'équation \( f'(a) = -1 \).
• Bonus : L'objectif est de démontrer par le calcul l'expression du taux d'accroissement \( T(h) \), confirmant ainsi la formule utilisée (après correction d'une erreur de signe dans l'énoncé de l'exercice 4).