Obtenez une analyse détaillée et un corrigé de ce sujet de contrôle de mathématiques pour la Terminale Spécialité, axé sur la géométrie dans l'espace et le produit scalaire. Ce document est une ressource idéale pour les élèves souhaitant s'entraîner et maîtriser les concepts d'orthogonalité, les équations de plans, les représentations de droites, ainsi que les calculs de distances, d'aires et de volumes. Ce contrôle corrigé couvre en profondeur les compétences essentielles du chapitre.

Exercice 1 : Calculs de produits scalaires (4 points)

Cet exercice se divise en deux parties indépendantes pour tester la maîtrise du calcul de produit scalaire dans différentes configurations géométriques.

• Partie A : Dans un pavé droit. On considère un pavé droit COAVENIR avec des dimensions données (\( CO = 5, CV = 3, CE = 4 \)). La tâche est de calculer le produit scalaire \( \vec{CN} \cdot \vec{RO} \). La méthode la plus efficace consiste à se placer dans un repère orthonormé d'origine C, par exemple \( (C; \vec{CO}, \vec{CV}, \vec{CR}) \), à déterminer les coordonnées des points N et O, puis celles des vecteurs \( \vec{CN} \) et \( \vec{RO} \). Le calcul se finalise en utilisant la formule analytique du produit scalaire : \( XX' + YY' + ZZ' \).
• Partie B : Dans un tétraèdre régulier. Soit ABCD un tétraèdre régulier d'arête \( a \) et J le milieu de [BC]. Il est demandé de calculer le produit scalaire \( \vec{JA} \cdot \vec{JD} \). Cet exercice met en jeu la capacité à utiliser la relation de Chasles pour décomposer les vecteurs de manière astucieuse (par exemple, en fonction de \( \vec{JB} \), \( \vec{JC} \), \( \vec{BA} \), \( \vec{CD} \)...) et à exploiter les propriétés du tétraèdre régulier (angles de 60°, arêtes de même longueur).

Exercice 2 : Orthogonalité dans le cube (6 points)

Cet exercice explore les propriétés d'orthogonalité dans un cube ABCDEFGH, en particulier le rôle de la grande diagonale (AG).

• Question 1 : Orthogonalité d'une droite et d'un plan. Il faut d'abord simplifier une somme vectorielle (\( \vec{AC} + \vec{AE} = \vec{AG} \)), puis en déduire que \( \vec{AG} \cdot \vec{BD} = 0 \). En admettant que \( \vec{AG} \cdot \vec{BE} = 0 \), on doit démontrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (BDE). Le raisonnement clé est de montrer que la droite (AG) est orthogonale à deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan (BDE), à savoir \( \vec{BD} \) et \( \vec{BE} \).
• Question 2 : Travail dans un repère. L'espace est muni du repère orthonormé \( (A; \vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE}) \).
  • Il faut d'abord démontrer que \( x + y + z - 1 = 0 \) est une équation cartésienne du plan (BDE) en vérifiant que les coordonnées des points B(1,0,0), D(0,1,0) et E(0,0,1) satisfont cette équation.
  • Ensuite, on détermine les coordonnées du point d'intersection K de la droite (AG) et du plan (BDE). Cela implique de trouver une représentation paramétrique de (AG) (\( x=t, y=t, z=t \)) et de résoudre l'équation \( t+t+t-1=0 \).
  • Enfin, à partir de l'aire du triangle BDE, on calcule le volume de la pyramide BDEG. La formule \( V = \frac{1}{3} \mathcal{B} h \) est utilisée, où \( \mathcal{B} \) est l'aire de la base BDE et \( h \) est la hauteur, c'est-à-dire la distance du point G au plan (BDE).

Exercice 3 : Problème de synthèse (10 points)

Ce dernier exercice est un problème complet qui mobilise l'ensemble des compétences sur la géométrie dans l'espace.

• Question 1 : Propriétés d'un triangle. À partir des coordonnées des points A, B et C, on doit d'abord prouver que le triangle ABC est rectangle en A. Pour cela, on calcule le produit scalaire \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} \) et on montre qu'il est nul. Par la suite, on calcule le produit scalaire \( \vec{BA} \cdot \vec{BC} \) ainsi que les normes \( ||\vec{BA}|| \) et \( ||\vec{BC}|| \) pour en déduire la mesure de l'angle \( \widehat{ABC} \) via la formule \( \cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||} \).
• Question 2 : Plans et droites. On démontre que deux plans sont parallèles en montrant que leurs vecteurs normaux sont colinéaires. On en déduit l'équation cartésienne du plan (ABC). Puis, on établit la représentation paramétrique d'une droite passant par un point E et orthogonale au plan (ABC). Finalement, on vérifie les coordonnées du projeté orthogonal H du point E sur le plan (ABC) en s'assurant que H appartient bien au plan et que le vecteur \( \vec{EH} \) est colinéaire au vecteur normal du plan.
• Question 3 : Calculs d'aire et de volume. La dernière question consiste à calculer l'aire du triangle rectangle ABC, puis à utiliser ce résultat pour trouver le volume de la pyramide ABCE. Le volume est donné par \( V = \frac{1}{3} \times \text{Aire}(ABC) \times EH \), où EH est la hauteur de la pyramide.