3. Calculer un produit scalaire dans l'espace - Chasles

Introduction

Allez les amis, on est parti pour voir comment le produit scalaire peut nous faire gagner énormément de temps sur des problèmes spatiaux. On s'y met tout de suite. On vous donne l'exercice avec un cube à base carrée de côté 1 et on vous demande de calculer le produit scalaire AB.AG.

Explication du problème

Les plus malins d'entre vous diront que ces exercices avec les coordonnées prennent exactement ce temps-là et vous avez raison. Cet exercice est très simple à traiter avec les coordonnées, mais ce ne sera pas toujours le cas. Pourtant, on va voir comment on peut s'économiser du temps avec le produit scalaire. L'idée est de décomposer AB.AG en un chemin qui suit les arêtes pour que les produits scalaires soient plus simples à calculer. Je m'explique : AB.AG, je vais dire que c'est AB.BF + BF.FG + FG.GA. Ce qui est génial, c'est que le produit scalaire est distributif, c'est-à-dire que quand j'ai AB.AG qui est une somme, c'est comme si j'avais 3x(x + y + z), j'aurais 3x + 3y + 3z. Ici, c'est exactement pareil.

Solution du problème

AB.AG est donc AB.BF + BF.FG + FG.GA. AB.BF est nul car AB et BF sont deux côtés consécutifs d'un carré et donc perpendiculaires. De même, FG.GA est nul car FG et GA sont aussi deux côtés consécutifs d'un carré. Il ne reste donc plus que AB.AB, qui est égal à la norme de AB au carré, soit 1. Vous voyez, en trois lignes c'est réglé, alors que si on avait dû passer par les coordonnées, il aurait fallu faire des Pythagore pour trouver la longueur et il aurait fallu faire des manipulations de trigonométrie pour trouver l'angle qu'on cherchait. Entraînez-vous avec des petits exercices en dessous, à vous de jouer, vous êtes des champions !