Contrôle Corrigé de Mathématiques sur les Vecteurs - Niveau Seconde

Découvrez notre sujet de contrôle de mathématiques complet sur le chapitre des vecteurs, spécialement conçu pour les élèves de Seconde. Cette évaluation, d'une durée d'une heure, couvre les aspects fondamentaux du calcul vectoriel, allant des constructions géométriques aux calculs dans un repère. C'est un excellent support pour s'entraîner et réviser les notions clés comme la relation de Chasles, la colinéarité, les coordonnées de vecteurs, et leurs applications en géométrie. Chaque exercice de ce sujet de maths est analysé pour vous aider à comprendre les méthodes de résolution et les compétences attendues.

Exercice 1 : Notions Fondamentales et Coordonnées (6 points)

• Définition et simplification : L'exercice débute par une question de cours sur la définition de vecteurs colinéaires. Il se poursuit avec la justification d'une égalité vectorielle, \( \vec{AB} - \vec{AD} + \vec{CD} = \vec{CB} \), qui est un excellent test de maîtrise de la relation de Chasles et des opérations sur les vecteurs.
• Lecture et placement de points : La troisième question demande de manipuler des vecteurs colinéaires sur une droite graduée pour trouver des coefficients, par exemple dans \( \vec{AC} = k \vec{AB} \). Elle teste également la capacité à construire des points définis par des relations vectorielles comme \( \vec{BE} = \frac{1}{2} \vec{AB} \) ou \( \vec{IA} + \vec{IB} = \vec{0} \), ce qui implique la notion de milieu d'un segment.
• Calculs dans un repère non orthonormé : La dernière partie de cet exercice introduit le concept de repère \((A, \vec{AB}, \vec{AC})\). Vous devrez déterminer les coordonnées des points du triangle, puis calculer les coordonnées des milieux I et J. Le but final est de calculer les coordonnées des vecteurs \( \vec{BC} \) et \( \vec{IJ} \) et de prouver leur colinéarité, menant à la conclusion que les droites (BC) et (IJ) sont parallèles (application du théorème de la droite des milieux).

Exercice 2 : Application des Forces (4 points)

Cet exercice propose une mise en situation concrète issue de la physique, où les forces sont modélisées par des vecteurs. L'objectif est de trouver la force de poussée \( \vec{u} \) nécessaire pour maintenir un ballon à l'équilibre.

• Partie A - Construction graphique : Il s'agit de construire graphiquement la somme de deux vecteurs forces, \( \vec{v} = \vec{p} + \vec{r} \), puis d'en déduire le vecteur \( \vec{u} \) tel que \( \vec{u} + \vec{v} = \vec{0} \), c'est-à-dire \( \vec{u} = -\vec{v} \).
• Partie B - Calcul par coordonnées : La seconde partie passe au calcul. Il faut d'abord lire les coordonnées des vecteurs forces \( \vec{p} \) et \( \vec{r} \) sur le graphique. Ensuite, on calcule les coordonnées de leur somme \( \vec{v} \), et enfin, on en déduit les coordonnées du vecteur opposé \( \vec{u} \). C'est une application directe des formules de calcul sur les coordonnées de vecteurs.

Exercice 3 : Géométrie Analytique (6 points)

Cet exercice est un problème classique de géométrie dans un repère orthonormé. À partir des coordonnées de quatre points A, B, C, et D, il faut analyser la nature du quadrilatère ABCD.

• Coordonnées et parallélogramme : La première étape consiste à calculer les coordonnées des vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{DC} \). En montrant que \( \vec{AB} = \vec{DC} \), on prouve que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
• Calcul de distances et nature du triangle : Il est ensuite demandé de calculer les distances AB et BC, ce qui revient à calculer la norme des vecteurs \( \vec{AB} \) et \( \vec{BC} \). Avec la distance AC donnée, on utilise la réciproque du théorème de Pythagore pour démontrer que le triangle ABC est rectangle en B.
• Conclusion sur le quadrilatère : La dernière question est une synthèse : un parallélogramme ayant un angle droit est un rectangle. Cet exercice relie les outils vectoriels (coordonnées, égalité de vecteurs) et les propriétés géométriques (distances, angles droits).

Exercice 4 : Approfondissement avec la Relation de Chasles (5 points)

Le dernier exercice se concentre sur la manipulation purement vectorielle, sans recours aux coordonnées, en utilisant intensivement la relation de Chasles pour démontrer des propriétés géométriques.

• Construction et décomposition : Après avoir placé des points I et J définis par \( \vec{CI} = 2\vec{AB} \) et \( \vec{BJ} = \frac{1}{3}\vec{BC} \), il faut exprimer les vecteurs \( \vec{AI} \) et \( \vec{AJ} \) en fonction de \( \vec{AB} \) et \( \vec{AC} \). Cela nécessite de décomposer les vecteurs en utilisant la relation de Chasles de manière astucieuse.
• Colinéarité et alignement : L'objectif final est de trouver une relation de colinéarité entre \( \vec{AI} \) et \( \vec{AJ} \) de la forme \( \vec{AI} = k \vec{AJ} \). Cette relation prouve que les vecteurs sont colinéaires et, comme ils partagent le point A, que les points A, I, et J sont alignés. C'est un excellent exercice pour développer la vision géométrique et la maîtrise du calcul vectoriel.