Introduction
Allez les amis, on repart pour voir les trois cas où on vous demande de déterminer les coordonnées d'un vecteur dans une base particulière. La base \(i, j\) est la base classique des bases rectangulaires et des bases triangulaires. On s'y met tout de suite, ce n'est pas compliqué.
Coordonnées d'un vecteur dans une base
Je vous rappelle que les coordonnées d'un vecteur dans une base s'écrivent comme ça : les coordonnées du vecteur \(u\) dans la base \(i, j\) ça va être par exemple \(3\) et \(2\). Ça veut dire que pour aller de la queue jusqu'à la tête du vecteur \(u\), je vais faire trois fois mon vecteur \(i\) et deux fois mon vecteur \(j\). Donc, pour parcourir le chemin \(u\), combien de fois je dois faire mon vecteur \(i\) et combien de fois je dois faire mon vecteur \(j\) ?
Dans le cas d'une base \(i, j\), c'est relativement simple. Vous vous dites : je pars de la queue, j'arrive ici, le vecteur \(i\) est le vecteur horizontal et le vecteur \(j\) est le vecteur vertical. Donc, les coordonnées de \(u\) dans cette base, ça va être le vecteur \(i\) une fois, deux fois, trois fois, quatre fois, cinq fois, six fois. J'arrive ici en faisant six fois mon vecteur \(i\) et une fois, deux fois, je rajoute deux fois mon vecteur \(j\). Si le vecteur avait été vers le bas, si par exemple il était comme ça, j'aurais dû faire non pas une fois, deux fois mon vecteur \(j\) vers le haut, mais moins une fois, moins deux fois mon vecteur \(j\). Donc, les coordonnées, elles peuvent être positives comme elles peuvent être négatives. C'est le cas très simple.
Coordonnées d'un vecteur dans une base non classique
Maintenant, on vous donne un quadrillage constitué lui-même de quatre petits carrés. On vous dit : la nouvelle base, c'est \(a, b\). La nouvelle origine, on va partir de là. Le vecteur \(a\) est le premier vecteur, donc le premier vecteur c'est celui-là, et mon deuxième vecteur c'est \(b\). Donc là, vous vous dites : les deux vecteurs qui sont ma base, ils n'ont pas la même longueur. Vous voyez qu'il y en a un qui est deux fois plus grand que l'autre. Le principe reste exactement le même. Je vais partir d'ici et je vais arriver jusque-là en utilisant seulement ces deux vecteurs.
Pour arriver au point \(s\) en partant de \(d\), sachant que je dois utiliser que ces deux vecteurs \(a\) et \(b\), on peut se dire que pour aller de \(d\) à \(f\), je vais passer par \(e\). Donc, la première étape, ça va être ici. Sauf que faire \(d\) à \(e\), c'est quasiment comme faire \(h\) à \(a\). Or, \(a\) est le premier vecteur de ma base. Sauf que si je fais \(a\) en partant de \(d\), je n'arrive pas à \(e\), je vais me retrouver ici, parce que \(a\) est deux fois plus long que cette distance. Du coup, je vais dire que les coordonnées de \(e\) dans la base \(a, b\), ça va être la moitié de \(a\), soit \(1/2a\).
Ensuite, je n'ai plus qu'à descendre. On se dit : faire \(f\) à \(c\), c'est-à-dire descendre d'une case, c'est quasiment comme faire \(b\). En fait, c'est exactement comme faire \(b\). Oui, mais sauf que votre base, ce n'est pas \(a, b, c\), c'est \(a, b\). Du coup, vous ne pouvez pas dire qu'on fait une fois \(ab\), parce que ça veut dire : j'arrive ici, je fais une fois \(ab\), je me retrouve là, mais ce n'est pas le point \(f\). Donc, en fait, on ne va pas faire \(1\), on va faire \(-1\), c'est-à-dire une fois l'opposé de \(ab\).
Autrement dit, pour faire le vecteur \(u\) qui part de \(d\) et arrive à \(s\), je vais commencer par faire la moitié du chemin \(a\), donc je me retrouve ici, et ensuite je vais faire moins une fois le chemin \(b\). Le chemin \(b\) étant de monter une fois, je vais descendre un coup et je me retrouve bien à \(f\).
Coordonnées d'un vecteur dans une base triangulaire
On finit avec le cas d'une base triangulaire. Donc, cette fois-ci, votre point de départ, votre origine, c'est \(f\). Votre premier vecteur, ça va être \(cb\), donc ça va être celui-là, et votre deuxième vecteur, ça va être \(df\), donc là, c'est vraiment le cas compliqué.
Ça ne change rien, on se dit : je pars de là, comment est-ce que je fais pour arriver ici en utilisant uniquement ces deux vecteurs ? Et bien, moi, je regarde tout, je remarque qu'une chose, c'est que mon \(df\), je le déplace ici, et je me rends compte que quand j'additionne celui-là et celui-là, c'est-à-dire quand j'additionne \(cb\) et \(df\), j'arrive ici sur \(cf\). Or, moi, je ne veux pas faire \(cf\), je veux faire la moitié de \(cf\). Donc, mes coordonnées, ça va être la moitié de une fois \(cb\) plus une fois \(df\). Donc, je peux écrire que mon vecteur \(u\), c'est un demi de une fois \(cb\) plus une fois \(df\). Donc, \(u\) c'est un demi de \(cb\) plus un demi de \(df\), et ça tombe bien, parce que \(cb, df\), c'est ma base. Du coup, les coordonnées du vecteur \(u\), ça va être les \(1/2\) et \(1/2\). J'encadre, et les points, ils sont pour moi.
On vous a mis des exercices en dessous, très simples en commençant, un peu plus compliqués ensuite, et de plus en plus durs. Entraînez-vous, faites-les, ça c'est la base de la lecture graphique de coordonnées de vecteurs. Vous êtes des champions.