Découvrez une analyse détaillée et un corrigé de ce sujet de contrôle de mathématiques pour le niveau Terminale Spécialité, entièrement consacré au chapitre des fonctions trigonométriques. Cette évaluation de 2 heures est un excellent outil de révision, balayant les compétences essentielles : résolution d'équations et inéquations, calcul de dérivées, étude de fonctions, et un problème d'optimisation concret. Ce corrigé est conçu pour vous aider à comprendre les méthodes de résolution et à consolider vos connaissances.
Exercice 1 : Maîtrise des bases de la trigonométrie
Cet exercice est un questionnaire à réponses directes qui vise à évaluer votre maîtrise des fondamentaux du chapitre. Il est essentiel de bien connaître son cercle trigonométrique et ses formules de dérivation.
- Question a) : Résolution d'équation. Il s'agit de résoudre l'équation `2 \cos(x) + 1 = 0` sur l'intervalle `[0; 2\pi]`. On isole d'abord `\cos(x)` pour obtenir `\cos(x) = -\frac{1}{2}`. La résolution s'appuie sur la connaissance des valeurs remarquables du cosinus et la lecture des solutions sur le cercle trigonométrique dans l'intervalle imposé.
- Question b) : Résolution d'inéquation. On demande de résoudre `\sin(x) < \frac{\sqrt{2}}{2}` sur `[-\pi; \pi]`. Cette question teste votre capacité à visualiser les arcs de cercle correspondant à une inégalité sur le cercle trigonométrique et à en déduire l'ensemble des solutions.
- Question c) : Dérivée d'un produit. Il faut dériver la fonction `f(x) = 3x \cos(5x + 2)`. Cette question requiert l'application de la formule de dérivation d'un produit `(uv)' = u'v + uv'` ainsi que la dérivée d'une fonction composée pour le terme `\cos(5x + 2)`.
- Question d) : Dérivée d'un quotient. On doit calculer la dérivée de `g(x) = \frac{\sin(x)}{\sin(x) + 5}`. La maîtrise de la formule de dérivation d'un quotient `(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}` est ici indispensable.
Exercice 2 : Application de compétences variées
Cet exercice se compose de trois questions indépendantes qui approfondissent des notions clés du programme de Terminale.
- Question 1 : Étude de la convexité. On doit déterminer si la fonction `g(x) = \sin(2x)` est concave sur l'intervalle `] \frac{\pi}{2} ; \pi [`. La méthode consiste à calculer la dérivée seconde `g''(x)` et à étudier son signe. Si `g''(x) \le 0` sur l'intervalle, la fonction est concave.
- Question 2 : Recherche de primitive. Il est demandé de trouver une primitive de la fonction `h(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}`. Les élèves avisés reconnaîtront une forme `\frac{u'(x)}{u(x)}`, dont une primitive est `\ln(|u(x)|)`. L'intervalle `]0; \pi[` garantit que `\sin(x)` est positif, simplifiant l'expression.
- Question 3 : Résolution d'inéquation. Il s'agit de résoudre l'inéquation `\sqrt{2} - 2 \cos(x) \ge 0` sur `[0; 2\pi]`, ce qui se ramène à `\cos(x) \le \frac{\sqrt{2}}{2}`. Encore une fois, le cercle trigonométrique est l'outil de choix pour conclure.
Exercice 3 : Étude de fonction trigonométrique complète
Cet exercice est une étude de fonction classique mais essentielle, portant sur `h(x) = \sin(x) - (\sin(x))^2`. Les justifications sont attendues, ce qui met l'accent sur la rigueur de la rédaction.
- Calcul de la dérivée : La première étape consiste à prouver que `h'(x) = \cos(x) (1 - 2 \sin(x))`. Le calcul fait appel à la dérivation de `u^n`, qui est `n u' u^{n-1}`, suivie d'une factorisation par `\cos(x)`.
- Tableau de variations : Pour dresser le tableau de variations de `h` sur `[0; 2\pi]`, il faut étudier le signe de la dérivée `h'(x)`. Cela implique de résoudre `\cos(x) > 0` et `1 - 2 \sin(x) > 0` sur l'intervalle, puis de combiner les résultats dans un tableau de signes pour en déduire le signe de `h'(x)` et les variations de `h`. Le calcul des extremums (minima et maxima locaux) est également requis.
Exercice 4 : Problème de synthèse et d'optimisation
L'exercice le plus complet du sujet. Il s'agit d'un problème d'optimisation dans un cadre géométrique. On cherche à maximiser l'aire d'un triangle isocèle inscrit dans un cercle. C'est un excellent exemple de l'application des outils d'analyse de fonctions à un problème concret.
- Partie 1 : Modélisation. On utilise la trigonométrie dans le triangle rectangle pour exprimer les dimensions du triangle (base `BC`, hauteur `AH`) en fonction d'un angle `\alpha`. On en déduit l'expression de l'aire du triangle, `A(\alpha) = \sin(\alpha)(1 + \cos(\alpha))`.
- Partie 2 : Étude de la fonction Aire. La suite consiste en une étude approfondie de la fonction `f(x) = \sin(x)(1 + \cos(x))` pour `x \in [0; \frac{\pi}{2}]`.
- On commence par calculer la dérivée `f'(x)` et montrer qu'elle est égale à `2\cos^2(x) + \cos(x) - 1`.
- Ensuite, on factorise `f'(x)` en `2(\cos(x) + 1)(\cos(x) - \frac{1}{2})`, ce qui est obtenu en résolvant une équation du second degré en posant `X = \cos(x)`.
- L'étude du signe de `f'(x)` permet de dresser le tableau de variations de `f`. Le signe dépend uniquement du terme `\cos(x) - \frac{1}{2}` sur l'intervalle d'étude.
- Finalement, le tableau de variations révèle la valeur de `\alpha` pour laquelle l'aire est maximale, concluant ainsi le problème d'optimisation.
En résumé, ce sujet de bac blanc pour la spécialité maths couvre un large éventail de compétences sur les fonctions trigonométriques, de la technique calculatoire (dérivées) à la résolution de problèmes complexes (optimisation).