Ce contrôle de mathématiques pour la classe de Seconde porte sur le premier chapitre de l'année : les ensembles de nombres. D'une durée d'une heure, cette évaluation couvre les notions fondamentales telles que la classification des nombres (naturels $\mathbb{N}$, entiers relatifs $\mathbb{Z}$, décimaux $\mathbb{D}$, rationnels $\mathbb{Q}$ et réels $\mathbb{R}$), les opérations sur les intervalles (union $\cup$ et intersection $\cap$), et la notion de valeur absolue, notamment son lien avec les distances et les inéquations.

Ce sujet est un excellent outil de révision pour les élèves de Seconde souhaitant consolider leurs bases. Chaque exercice est conçu pour tester une compétence spécifique, de la simple reconnaissance des types de nombres à la résolution plus complexe d'inéquations utilisant la valeur absolue. En travaillant sur ce sujet de maths corrigé, vous pourrez évaluer votre compréhension du cours et vous préparer efficacement pour vos prochaines évaluations.

Exercice 1 : Maîtrise des ensembles de nombres et des notations

Cet exercice d'introduction a pour but de vérifier la connaissance des différents ensembles de nombres et l'utilisation correcte des symboles mathématiques d'appartenance ($\in$, $\notin$) et d'inclusion ($\subset$, $\not\subset$).

• Question 1 : Nombres rationnels ($\mathbb{Q}$)
  Il est demandé de justifier si les nombres $-3,2$ et $\frac{1,5}{4}$ sont rationnels. La justification repose sur la définition d'un nombre rationnel : un nombre qui peut s'écrire comme une fraction de deux entiers.
  • Pour $-3,2$, on peut écrire : $-3,2 = -\frac{32}{10}$. C'est bien le quotient de deux entiers, donc $-3,2 \in \mathbb{Q}$.
  • Pour $\frac{1,5}{4}$, on transforme le numérateur en entier : $\frac{1,5}{4} = \frac{15}{40}$. C'est également un quotient de deux entiers, donc $\frac{1,5}{4} \in \mathbb{Q}$.
• Question 2 : Nombres décimaux ($\mathbb{D}$)
  La question porte sur l'identification des nombres décimaux, c'est-à-dire des nombres pouvant s'écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$ où $a$ est un entier et $n$ un entier naturel.
  • Pour $-7,2 \times 10^{-2}$, cela donne $-0,072 = -\frac{72}{1000}$. C'est un nombre décimal, donc $-7,2 \times 10^{-2} \in \mathbb{D}$.
  • Pour $\frac{17}{4}$, en effectuant la division, on obtient $4,25$. On peut l'écrire $\frac{425}{100}$, ce qui prouve que $\frac{17}{4} \in \mathbb{D}$.
• Question 3 : Utilisation des symboles
  Cette partie teste la capacité à utiliser les symboles corrects pour lier des nombres, des ensembles et des intervalles. Par exemple, pour $\sqrt{21}$, il faut savoir que sa partie décimale est infinie et non périodique, donc $\sqrt{21} \notin \mathbb{D}$. Un autre exemple est de comparer les ensembles $\mathbb{D}$ et $\mathbb{Z}$. Tout entier est un nombre décimal (ex: $3 = \frac{30}{10}$), mais l'inverse n'est pas vrai (ex: $0,5 \in \mathbb{D}$ mais $0,5 \notin \mathbb{Z}$). La relation correcte est donc $\mathbb{Z} \subset \mathbb{D}$.

Exercice 2 : Union et Intersection d'intervalles

Cet exercice se concentre sur une compétence graphique et analytique essentielle : la manipulation des intervalles sur la droite des réels. On donne trois intervalles : $I = [2; +\infty[$, $J = ]-4; 3[$ et $K = ]-\infty; 0]$.

• Question a) Union $I \cup J$
  L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres qui appartiennent à l'un OU à l'autre. En représentant $I$ et $J$ sur une droite graduée, on visualise que l'union rassemble tous les nombres de $-4$ (exclu) à $+\infty$. Le résultat est donc $I \cup J = ]-4; +\infty[$.
• Question b) Intersection $J \cap K$
  L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres qui appartiennent à l'un ET à l'autre. En superposant les représentations de $J$ et $K$ sur la droite numérique, on identifie la partie commune. Les nombres doivent être à la fois strictement supérieurs à $-4$ et inférieurs ou égaux à $0$. L'intersection est donc $J \cap K = ]-4; 0]$.

Exercice 3 : Intervalles et Valeur Absolue

Cet exercice établit le lien fondamental entre la représentation d'un intervalle centré et une inéquation avec valeur absolue. On demande de représenter l'intervalle $[a-r; a+r]$ pour $a=-2$ et $r=2$.

L'intervalle est $[-2-2; -2+2]$, soit $[-4; 0]$. Cet intervalle est centré en $-2$ et a un "rayon" de $2$. La valeur absolue permet de traduire cette idée de distance. Un nombre $x$ appartient à cet intervalle si et seulement si sa distance au centre $a$ est inférieure ou égale au rayon $r$. Mathématiquement, cela se traduit par l'inégalité : $|x - a| \le r$.

En remplaçant par les valeurs données : $|x - (-2)| \le 2$, ce qui s'écrit plus simplement $|x + 2| \le 2$.

Exercice 4 : Calcul de distance avec la valeur absolue

Court et direct, cet exercice rappelle que la distance entre deux nombres réels $a$ et $b$ sur une droite graduée est donnée par la valeur absolue de leur différence : $d(a,b) = |b-a|$.

Pour trouver la distance entre $-8$ et $-5$, on calcule : $d(-8, -5) = |-5 - (-8)| = |-5 + 8| = |3| = 3$. La distance est de 3 unités.

Exercice 5 : Inéquations et valeur absolue

Cet exercice de synthèse demande de résoudre des inéquations avec valeur absolue et d'interpréter les résultats.

• Question 1 : Résolution de $|x+8| \le 4$
  Cette inéquation peut être réécrite sous la forme $|x - (-8)| \le 4$. On cherche donc l'ensemble $A$ des nombres réels $x$ dont la distance au nombre $-8$ est inférieure ou égale à $4$. Sur la droite numérique, on part de $-8$ et on se déplace de $4$ unités dans chaque direction, ce qui nous amène aux bornes $-8-4 = -12$ et $-8+4 = -4$. L'ensemble solution est donc l'intervalle fermé $A = [-12; -4]$.
• Question 2 : Déduction de l'ensemble solution de $|x+8| > 4$
  L'inégalité $|x+8| > 4$ décrit l'ensemble $B$ de tous les nombres réels qui ne sont PAS dans l'ensemble $A$. Autrement dit, $B$ est le complémentaire de $A$ dans $\mathbb{R}$. Si $A$ contient tous les nombres dont la distance à $-8$ est inférieure ou égale à $4$, alors $B$ contient tous les nombres dont la distance à $-8$ est strictement supérieure à $4$.

L'ensemble $B$ est donc constitué de tout ce qui se trouve "à l'extérieur" de l'intervalle $[-12; -4]$. On l'écrit sous forme de réunion d'intervalles : $B = ]-\infty; -12[ \cup ]-4; +\infty[$.