Introduction
Allez les amis, on est parti aujourd'hui pour voir les deux cas d'une équation avec valeur absolue. Le premier cas, c'est quand j'ai \(|x| > 2\) et le deuxième cas, c'est quand j'ai \(|x| < a\), où \(a\) est un nombre quelconque. On vous a mis des exercices en dessous, regardez la vidéo et faites-les.
Premier cas : \(|x| > a\)
Notez bien que pour résoudre une inéquation avec valeur absolue, il y a deux cas. Le premier, c'est quand j'ai \(|x| > a\). Quand vous avez \(|x| > a\), le cours vous dit que ça vous donne deux solutions possibles : soit ce que j'ai à l'intérieur va être plus grand que \(a\) en enlevant la valeur absolue, soit ce que j'ai à l'intérieur va être plus petit que \(-a\).
Donc, si j'ai \(|2x + 3| > 2\), ça veut dire soit \(2x + 3 > 2\), soit \(2x + 3 < -2\). J'ai transformé une équation en valeur absolue qui était très compliquée en deux petites équations simples que vous savez résoudre.
Je résoudrai ces deux équations. Pour \(2x + 3 > 2\), je passe le \(3\) de l'autre côté, ça fait \(2x > -1\). Pour \(2x + 3 < -2\), ça fait \(2x < -5\), donc \(x < -\frac{5}{2}\).
Pour donner la solution, je trace un axe numérique. Je veux que \(x\) soit plus grand que \(-\frac{1}{2}\) ou que \(x\) soit plus petit que \(-\frac{5}{2}\). Donc, ma solution \(S\) est l'intervalle qui va de \(-\infty\) jusqu'à \(-\frac{5}{2}\) union \(-\frac{1}{2}\) jusqu'à \(+\infty\).
Deuxième cas : \(|x| < a\)
Dans le cas où on a \(|x| < a\), on va gérer ce cas en disant que quand \(|x| < a\), ça veut dire que \(x\) est compris entre \(-a\) et \(a\).
Donc, si j'ai \(|-3x + 1| < 5\), ça veut dire que \(-3x + 1\) est compris entre \(-5\) et \(5\). On va gérer ça exactement comme si c'était une équation.
Je commence par faire \(-1\) de chaque côté de mon équation, donc \(-5 - 1 < -3x < 5 - 1\), ce qui donne \(-6 < -3x < 4\). Ensuite, je divise tout par \(-3\), ce qui donne \(2 > x > -\frac{4}{3}\).
Mes solutions sont donc l'intervalle qui va de \(-\frac{4}{3}\) jusqu'à \(2\).
On vous a mis des exercices en dessous, entraînez-vous là-dessus, ça tombe au contrôle.