2. Résoudre une inéquation avec valeur absolue

Introduction

Allez les amis, on est parti aujourd'hui pour voir les deux cas d'une équation avec valeur absolue. Le premier cas, c'est quand j'ai \(|x| > 2\) et le deuxième cas, c'est quand j'ai \(|x| < a\), où \(a\) est un nombre quelconque. On vous a mis des exercices en dessous, regardez la vidéo et faites-les.

Premier cas : \(|x| > a\)

Notez bien que pour résoudre une inéquation avec valeur absolue, il y a deux cas. Le premier, c'est quand j'ai \(|x| > a\). Quand vous avez \(|x| > a\), le cours vous dit que ça vous donne deux solutions possibles : soit ce que j'ai à l'intérieur va être plus grand que \(a\) en enlevant la valeur absolue, soit ce que j'ai à l'intérieur va être plus petit que \(-a\). Donc, si j'ai \(|2x + 3| > 2\), ça veut dire soit \(2x + 3 > 2\), soit \(2x + 3 < -2\). J'ai transformé une équation en valeur absolue qui était très compliquée en deux petites équations simples que vous savez résoudre. Je résoudrai ces deux équations. Pour \(2x + 3 > 2\), je passe le \(3\) de l'autre côté, ça fait \(2x > -1\). Pour \(2x + 3 < -2\), ça fait \(2x < -5\), donc \(x < -\frac{5}{2}\). Pour donner la solution, je trace un axe numérique. Je veux que \(x\) soit plus grand que \(-\frac{1}{2}\) ou que \(x\) soit plus petit que \(-\frac{5}{2}\). Donc, ma solution \(S\) est l'intervalle qui va de \(-\infty\) jusqu'à \(-\frac{5}{2}\) union \(-\frac{1}{2}\) jusqu'à \(+\infty\).

Deuxième cas : \(|x| < a\)

Dans le cas où on a \(|x| < a\), on va gérer ce cas en disant que quand \(|x| < a\), ça veut dire que \(x\) est compris entre \(-a\) et \(a\). Donc, si j'ai \(|-3x + 1| < 5\), ça veut dire que \(-3x + 1\) est compris entre \(-5\) et \(5\). On va gérer ça exactement comme si c'était une équation. Je commence par faire \(-1\) de chaque côté de mon équation, donc \(-5 - 1 < -3x < 5 - 1\), ce qui donne \(-6 < -3x < 4\). Ensuite, je divise tout par \(-3\), ce qui donne \(2 > x > -\frac{4}{3}\). Mes solutions sont donc l'intervalle qui va de \(-\frac{4}{3}\) jusqu'à \(2\). On vous a mis des exercices en dessous, entraînez-vous là-dessus, ça tombe au contrôle.