Introduction aux intervalles
Allez les amis, on est parti pour parler d'intervalle et pour voir comment représenter les intervalles sur la droite numérique. On cible qu'est-ce que c'est qu'un intervalle. Un intervalle c'est un ensemble, c'est l'ensemble de nombres, en l'occurrence, cet intervalle c'est le groupe de nombres qui commence à -3 et qui va jusqu'à 4. C'est-à-dire que, à l'intérieur de cet intervalle, on va mettre tous les nombres réels compris entre -3 et 4. Par exemple, -2, 0, 1, mais aussi 1,5, 1,55, 1,593, bref, il y a une infinité de nombres réels entre -3 et 4.
Comprendre les crochets dans les intervalles
Le détail qui vous gêne, c'est ces crochets, ce système de crochets. Donc moi, ce système de crochets, j'aimerais que vous le compreniez en fait comme des flèches. Ça, c'est une petite flèche pour dire que le nombre -3 est vers l'intérieur de l'intervalle. Ça, c'est aussi une petite flèche pour dire que le deuxième membre, 4, il est à l'extérieur de l'intervalle. Autrement dit, si je vous demande est-ce que -3 appartient à cet intervalle, vu que j'ai une flèche vers l'intérieur sur le crochet de -3, ça veut dire que -3 est à l'intérieur de l'intervalle, donc qu'il appartient à cet intervalle. De même, 4, vu que j'ai une petite flèche vers l'extérieur, il est à l'extérieur de l'intervalle et du coup, il n'appartient pas à l'intervalle.
Représentation graphique des intervalles
Comment est-ce qu'on représente ça graphiquement? Pour commencer, on place nos nombres, donc -3 et 4, il n'y a aucun problème. Ensuite, on va remettre ce symbole là pour dire que 4, il n'est pas dans l'intervalle, il est à l'extérieur de l'intervalle. Et on va mettre ce symbole là pour montrer que -3, lui, au contraire, il est à l'intérieur. Et on trace la ligne en question. C'est aussi simple que ça de représenter un intervalle.
À l'inverse, si je vous demande de me dire quel intervalle est représenté ici, vous allez dire: "Bon, visiblement, le -2, il n'est pas inclus dans cet intervalle, la flèche indique cette direction, donc la direction qui n'est pas grisée, donc -2 n'appartient pas à l'intervalle. Donc on va dire que cet intervalle, il commence à -2, mais -2 n'est pas inclus dedans."
Si je vous demande à partir de quel âge vous avez le droit de boire de l'alcool dans un bar, vous allez me dire 18 ans. Sauf que 18 ans, il est à l'intérieur des âges où vous avez le droit de boire, parce que quand vous avez 18 ans, vous avez le droit d'entrer dans un bar. À l'inverse, notre -2, il n'est pas dans l'intervalle, et pourtant l'intervalle commence à -2. Donc -2,000001, c'est-à-dire le nombre qui est juste à côté, il y est, mais -2 n'y est pas.
Donc cet intervalle, il commence à -2 et il se continue extrêmement loin là-bas. En fait, il se continue infiniment vers la droite. Donc on va dire qu'il part de -2 et qu'il va jusqu'à \(+\infty\), sauf que l'infini, on n'atteint jamais vraiment, puisque par définition, l'infini c'est le plus grand nombre qui existe. Donc l'infini ne sera jamais atteint, autrement dit, on est toujours à l'extérieur de l'intervalle en question.
Félicitations, vous venez de transformer votre première droite numérique en intervalle. Je vous laisse réfléchir deux secondes sur les deux suivants qui sont là. Donc, essayez de faire au brouillon.
Alors, \(2, +\infty\), d'une petite flèche, on voit qu'il est à l'extérieur. Donc mon intervalle, il va commencer à 2, 2 ne sera pas dedans, et ensuite il va continuer jusqu'à \(+\infty\), c'est-à-dire jusqu'à extrêmement loin là-bas. Donc je place mon 2 et je hachure cette partie là.
Ici, on voit que notre intervalle est délimité par 0. Et la question qu'on doit se poser, c'est: est-ce que je vais mettre une parenthèse ou un crochet? Est-ce que 0, il va être à l'intérieur ou est-ce qu'il va être à l'extérieur? Eh bien là, les flèches ne laissent aucun doute possible, aussi bien 0 que \(\infty\) sont inclus à l'intérieur de cet intervalle. Donc je ferme mes crochets.
On vous a mis des exercices en dessous, entraînez-vous. Il y a notamment ces questions-là, plus des questions où on vous demande est-ce qu'un nombre appartient ou pas à l'intervalle. C'est la base, il faut que ça soit solide pour faire le reste. J'ai confiance en vous, à vous de jouer!