Exercice 1 : Maîtrise des Propriétés Algébriques de l'Exponentielle

Cet exercice d'introduction de ce contrôle de maths est un test fondamental de votre connaissance des règles de calcul avec la fonction exponentielle. Il s'agit de simplifier trois expressions, ce qui nécessite une application rigoureuse des propriétés suivantes :

• Produit : \( e^a \times e^b = e^{a+b} \)
• Quotient : \( \frac{e^a}{e^b} = e^{a-b} \)
• Puissance : \( (e^a)^b = e^{ab} \)

Les expressions à simplifier sont :

• a) \( \frac{e^{x^2} \times (e^x)^2}{e^{(x+1)^2}} \) : une combinaison de la règle de puissance et de quotient, menant à une simplification de polynômes dans l'exposant.
• b) \( \frac{e^{3+x}}{e^{3-x}} \) : une application directe de la règle du quotient.
• c) \( \frac{e^{2x+4} \times e^{-x+1}}{e^{x+5}} \) : un mélange des règles du produit et du quotient pour une simplification complète.

La réussite de cet exercice est essentielle pour aborder sereinement les problèmes plus complexes de ce sujet de maths.

Exercice 2 : Résolution d'Équations Exponentielles

Ce deuxième exercice de notre sujet corrigé augmente la difficulté en abordant la résolution d'équations impliquant la fonction exponentielle. La stratégie principale repose sur la propriété fondamentale : \( e^A = e^B \iff A = B \). Il faut également se souvenir que \( e^0 = 1 \).

Les quatre équations à résoudre dans \( \mathbb{R} \) sont :

• a) \( e^{-7x} \times e^{2x+8} = e^{-x+3} \) : Après simplification du membre de gauche, on se ramène à une équation du premier degré.
• b) \( \frac{e^{3x-1}}{e^{-5x+4}} = 1 \) : En utilisant la règle du quotient et le fait que \( 1 = e^0 \), l'équation se transforme en une simple équation linéaire.
• c) \( (e^{3x})^2 \times e^{x^2+5} = 1 \) : La simplification de cette équation mène à une équation du second degré \( x^2+6x+5=0 \) à résoudre.
• d) \( e^{1-x} - e^{2x^2} = 0 \) : Il faut d'abord réécrire l'équation sous la forme \( e^{1-x} = e^{2x^2} \) pour ensuite résoudre l'équation polynomiale correspondante.

Exercice 3 : Résolution d'Inéquations avec l'Exponentielle

Cet exercice se concentre sur les inéquations, un point clé du chapitre sur la fonction exponentielle en Première. La résolution s'appuie sur la propriété de croissance stricte de la fonction exponentielle sur \( \mathbb{R} \) :

\( e^A < e^B \iff A < B \) (et de même pour \( \le, >, \ge \)).

La plupart des inéquations de ce sujet de maths se ramènent à l'étude du signe d'un polynôme du second degré.

• a) \( e^{x^2+6x+5} \ge 1 \) : Se transforme en \( x^2+6x+5 \ge 0 \).
• b) \( e^{-x^2-3x+5} > e \) : Devient \( -x^2-3x+5 > 1 \), une autre inéquation du second degré.
• c) \( e^{2x^2-3x-1} \le (e^4)^2 \) : Après simplification, on résout \( 2x^2-3x-1 \le 8 \).
• d) \( \frac{e^{x^2} \times (e^{-5})^3}{(e^x)^2} \le 1 \) : La première étape est de simplifier l'expression exponentielle pour obtenir une inéquation du second degré.

Exercice 4 : Étude Complète d'une Fonction Exponentielle

Le dernier exercice de ce contrôle est un problème classique d'étude de fonction, qui synthétise plusieurs compétences. La fonction étudiée est \( f(x) = \frac{e^{12x+5}}{x^3} \) sur \( \mathbb{R}^* \).

Ce type d'exercice est un excellent entraînement pour le baccalauréat de spécialité mathématiques.

• a) Calcul de la dérivée : Il est demandé de vérifier que \( f'(x) = \frac{(12x - 3)e^{12x+5}}{x^4} \). Cela exige la maîtrise de la formule de dérivation d'un quotient \( (\frac{u}{v})' \) et de la dérivée d'une fonction composée de type \( e^u \).
• b) Tableau de signes de la dérivée : L'étude du signe de \( f'(x) \) est simplifiée par le fait que \( e^{12x+5} \) et \( x^4 \) (sur \( \mathbb{R}^* \)) sont toujours positifs. Le signe ne dépend donc que de l'expression affine \( 12x-3 \).
• c) Tableau de variations : À partir du signe de la dérivée, on déduit les variations de la fonction \( f \). Le calcul de la valeur de l'extremum local est également demandé.
• d) Équation de la tangente : Pour finir, il faut déterminer l'équation de la tangente à la courbe de \( f \) au point d'abscisse \( x=-1 \), en appliquant la formule \( y = f'(-1)(x - (-1)) + f(-1) \).