Analyse complète de ce contrôle de maths sur la dérivation (Niveau Première)

Ce sujet de mathématiques pour la classe de Première, spécialité maths, est une évaluation complète sur le chapitre des applications de la dérivation. Il aborde les compétences essentielles comme le calcul de dérivées, l'étude des variations de fonctions, la détermination d'extremums, la lecture graphique et l'utilisation des tangentes. C'est un excellent support pour réviser et se préparer à un contrôle sur l'étude de fonctions.

Exercice 1 : Étude d'une fonction rationnelle

Cet exercice est une application directe du cours sur la dérivation pour l'étude complète des variations d'une fonction. On considère la fonction $f(x) = \frac{4x + 7}{x^2 + 2}$ sur l'intervalle $[-5; 1]$.

• La première question demande d'étudier le sens de variation de $f$. Pour cela, il est nécessaire de calculer la fonction dérivée $f'(x)$ en utilisant la formule de dérivation d'un quotient $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Une fois l'expression de $f'(x)$ obtenue, il faut étudier son signe. Le dénominateur étant une somme de termes positifs, il est toujours strictement positif. L'étude se concentre donc sur le signe du numérateur, qui est un polynôme du second degré. La résolution de l'équation $f'(x)=0$ donne les points où la tangente est horizontale, qui sont les candidats pour les extremums. On dresse ensuite le tableau de signe de $f'(x)$ puis le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle $[-5; 1]$.
• Les questions suivantes demandent de déduire le minimum et le maximum de la fonction sur cet intervalle. Grâce au tableau de variation, on peut identifier les valeurs des extremums locaux ainsi que les valeurs de la fonction aux bornes de l'intervalle, $f(-5)$ et $f(1)$. La comparaison de ces valeurs permet de conclure sur le minimum et le maximum global de $f$ sur $[-5; 1]$ et de préciser les valeurs de $x$ pour lesquelles ils sont atteints.

Exercice 2 : Lien graphique entre une fonction et sa dérivée

Cet exercice, sans justification demandée, évalue la compréhension graphique du lien entre une fonction et sa dérivée.

• Dans la première partie, la courbe de la fonction dérivée $f'$ est donnée. Il faut identifier la ou les courbes pouvant représenter la fonction $f$. Le raisonnement est basé sur le principe suivant : lorsque $f'(x) > 0$ (la courbe de $f'$ est au-dessus de l'axe des abscisses), la fonction $f$ est croissante. Inversement, lorsque $f'(x) < 0$, $f$ est décroissante. Lorsque $f'(x)=0$, $f$ admet une tangente horizontale.
• La seconde partie propose le raisonnement inverse : à partir de la courbe d'une fonction $g$, il faut reconnaître celle de sa dérivée $g'$. On observe les variations de $g$ : si $g$ est croissante sur un intervalle, alors $g'$ doit être positive sur ce même intervalle. Si $g$ admet un maximum ou un minimum local, $g'$ s'annule en ce point.

Exercice 3 : Lecture graphique des propriétés d'une fonction

À partir de la courbe représentative d'une fonction $f$, cet exercice demande de valider ou d'infirmer des affirmations concernant $f$ et sa dérivée $f'$. Il faut justifier les réponses fausses. Cela teste la capacité à interpréter graphiquement le nombre dérivé.

• Affirmation 1 : $f'(x) = 0$ admet deux solutions. Il faut chercher les points de la courbe de $f$ où la tangente est horizontale, c'est-à-dire les sommets (extremums locaux).
• Affirmation 2 : $f'(-3,5) < f'(-1)$. Le nombre dérivé $f'(a)$ correspond au coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a$. Il faut donc comparer visuellement la pente de la courbe en $x = -3,5$ (où la fonction est décroissante, donc pente négative) et en $x = -1$ (où la fonction est croissante, donc pente positive).
• Affirmation 3 : $f$ admet 2 extremums locaux. Il s'agit de compter le nombre de fois où la fonction change de sens de variation.
• Affirmation 4 : L'ensemble des solutions de $f'(x) \ge 0$ est $[-3; -0,25]$. Cela revient à identifier l'intervalle sur lequel la fonction $f$ est croissante ou constante.

Exercice 4 : Calculs techniques de dérivées

Cet exercice est axé sur la maîtrise des formules de dérivation pour différents types de fonctions.

• Fonction h : un produit de deux polynômes $h(x) = (2x^3 – 2x^2 – 5x)(x^2 – 1)$. On applique la formule $(uv)' = u'v + uv'$.
• Fonction i : une fonction rationnelle $i(x) = \frac{4x^3-3x-1}{2x-1}$. On utilise la formule du quotient $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
• Fonction j : une fonction de la forme de l'inverse $j(x) = \frac{1}{2x^2+1}$. On peut utiliser la formule $(\frac{1}{v})' = -\frac{v'}{v^2}$ pour plus d'efficacité.
• Fonction f : une fonction avec une racine carrée $f(x) = x\sqrt{x}$. Il est judicieux de la réécrire sous forme de puissance $f(x) = x^{3/2}$ avant d'appliquer la formule $(x^n)'=nx^{n-1}$.

Exercice 5 : Équation de tangente et position relative

Cet exercice est un problème classique d'analyse de fonction. On étudie $f(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x + 15$.

• On commence par calculer la dérivée $f'(x)$, qui est un polynôme du second degré.
• Ensuite, on détermine l'équation de la tangente $T$ à la courbe au point d'abscisse 1, en utilisant la formule $y = f'(1)(x-1) + f(1)$.
• La partie la plus complexe consiste à étudier la position relative de la courbe $C$ par rapport à sa tangente $T$. Pour cela, on étudie le signe de la différence $g(x) = f(x) - (12x + 16)$. L'étude des variations de cette nouvelle fonction $g$ permet, via le calcul d'une valeur clé et le théorème des valeurs intermédiaires, de déterminer son signe et donc de conclure si $C$ est au-dessus ou en dessous de $T$.

Exercice 6 : Problème de synthèse

Ce dernier exercice est un problème de recherche. On doit identifier une fonction du type $f(x) = x^3 - ax^2 + b$ à partir de ses propriétés. On sait qu'elle admet un minimum local égal à 5, atteint en $x=2$. Cette information se traduit par deux conditions mathématiques :

1. Si le minimum est atteint en $x=2$, alors la dérivée s'annule en ce point : $f'(2) = 0$.
2. La valeur du minimum étant 5, l'image de 2 par la fonction est 5 : $f(2) = 5$.

Ces deux équations forment un système à deux inconnues ($a$ et $b$) qu'il faut résoudre pour trouver l'expression complète de la fonction.