Contrôle Corrigé sur la Dérivation et la Convexité - Terminale Spécialité

Ce sujet de contrôle pour les élèves de Terminale en spécialité mathématiques est une évaluation complète sur les chapitres de la dérivation et de la convexité. Il aborde les techniques essentielles de calcul de dérivées pour des fonctions complexes, l'étude de fonction approfondie avec tableau de variations, la détermination de l'équation d'une tangente, ainsi que l'analyse de la convexité et la recherche de points d'inflexion. Ce corrigé détaillé, exercice par exercice, vous permettra de maîtriser ces compétences clés du programme de terminale.

Exercice 1 : Maîtrise des formules de dérivation

Cet exercice est un excellent entraînement au calcul pur de dérivées, en appliquant les formules sur les fonctions composées et les produits de fonctions. Il s'agit de tester la connaissance des formules de base de la dérivation.

• Question 1 : Il s'agit de dériver la fonction f(x) = (x² – 3x + 7)⁵. On utilise la formule de la dérivée d'une puissance de fonction, de la forme (uⁿ)' = n * u' * uⁿ⁻¹.
• Question 2 : La fonction à dériver est g(x) = 1 / (x² + 5)³. Cela correspond à la forme 1/uⁿ ou u⁻ⁿ, nécessitant la formule de la dérivée de l'inverse d'une puissance ou la formule de dérivation des fonctions composées.
• Question 3 : On dérive la fonction h(x) = xe^(1/x). Ce calcul combine la formule de dérivation d'un produit (uv)' = u'v + uv' et celle d'une composée avec l'exponentielle (e^u)' = u'e^u.

Exercice 2 : Étude complète d'une fonction polynôme

Cet exercice classique est une étude de fonction complète qui balaye les concepts de variations, de tangente, de convexité et de position relative d'une courbe. La fonction étudiée est g(x) = -x³ + 3x² – 1.

• Question 1 : L'étude des variations de la fonction sur l'intervalle [-4; 4] passe par le calcul de la dérivée g'(x), l'étude de son signe et la construction du tableau de variations complet.
• Question 2 : Pour déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1, on applique la formule y = g'(1)(x - 1) + g(1).
• Question 3 : L'étude de la convexité de g demande de calculer la dérivée seconde g''(x). L'étude du signe de g''(x) permet de déterminer les intervalles où la fonction est concave ou convexe et de trouver l'abscisse du point d'inflexion, là où la convexité change.
• Question 4 : Cette question astucieuse demande d'étudier le signe de h(x) = g(x) – (3x - 2). En reconnaissant que y=3x-2 est l'équation de la tangente trouvée précédemment, il s'agit d'étudier la position relative de la courbe par rapport à sa tangente, ce qui se déduit directement de la convexité de la fonction g.

Exercice 3 : Recherche de points d'inflexion avec un paramètre

Cet exercice plus théorique explore la notion de point d'inflexion pour une famille de fonctions dépendant d'un paramètre réel a, avec la fonction f(x) = 10x²e^(ax−1).

• Question 1 : On doit démontrer que la courbe Cƒ admet deux points d'inflexion pour tout réel a non nul. La démarche consiste à calculer la dérivée seconde f''(x), puis à résoudre l'équation f''(x)=0. L'analyse du signe de f''(x) permet de conclure.
• Question 2 : Le cas particulier où a=0 transforme la fonction en f(x) = 10x²e⁻¹, une simple fonction polynôme du second degré (parabole). Son étude de convexité est immédiate : la dérivée seconde est une constante positive, donc la fonction est toujours convexe et n'admet aucun point d'inflexion.

Exercice 4 : Étude d'une fonction avec racine carrée

Le dernier exercice se concentre sur une fonction impliquant une racine carrée, ce qui introduit des questions sur le domaine de définition et la dérivabilité aux bornes de celui-ci. La fonction est f(x) = (2 – x)√(4 − x²).

• Question 1 : L'ensemble de définition est trouvé en résolvant l'inéquation 4 − x² ≥ 0.
• Question 2 : On justifie la dérivabilité sur l'intervalle ouvert ]– 2; 2[, puis on calcule la dérivée f'(x) en utilisant la règle du produit et la dérivée de √u. Une étape clé est de simplifier l'expression pour montrer que son signe est celui du polynôme x² - x - 2.
• Question 3 : L'étude de la dérivabilité en -2 et 2 se fait en calculant la limite du taux d'accroissement. On trouve des limites infinies, ce qui s'interprète graphiquement par la présence de tangentes verticales aux extrémités de la courbe.
• Question 4 : Le tableau de variations de f est finalement dressé en utilisant le signe de f'(x) sur l'intervalle ]– 2; 2[.