6. Formule équiprobabilité arbre

Introduction

Allez les amis, on est parti pour résoudre un problème de probabilités. Pas avec un tableau, mais avec un arbre cette fois-ci. C'est la formule des probabilités, on s'y met tous.

Explication du problème

Prenons l'exemple d'Ahmed qui lance une pièce trois fois. On cherche à éviter qu'il fasse exactement deux fois pile. Le problème, quand on commence à répéter une opération trois fois, c'est que le tableau ne fonctionne pas. Car le tableau fonctionne dans une direction la première fois, dans une deuxième direction la deuxième fois, mais il faudrait une troisième direction qui sortirait du tableau pour la troisième. Donc, on ne veut pas faire de tableau, on va plutôt faire un arbre. Si Ahmed lance une pièce, on peut dire que la première fois, il peut faire soit pile, soit face. Il relance une deuxième fois. S'il a fait pile la première fois, il a deux options : soit il refait pile, soit il fait face. S'il a fait face, pareil, soit il va faire pile, soit il va faire face. Et ensuite, pour chacune des issues du deuxième lancer, il y a une troisième possibilité : soit pile, soit face. Donc, pile ou face, pile ou face, pile ou face, pile ou face. Maintenant, pour chacun des chemins qu'on a obtenu comme ça, par exemple celui-là, on va noter quelle est l'issue du résultat, c'est-à-dire quels sont les résultats qu'il a obtenus. Par exemple, pour le premier chemin, il a obtenu pile, pile, pile, donc on note \(PPP\). Pour le deuxième chemin, il a obtenu pile, pile, face, donc on note \(PPF\), et ainsi de suite.

Calcul de la probabilité

Maintenant, regardons pourquoi c'est utile. J'ai toutes les issues possibles, et chaque issue est équiprobable, comme je le note sur la copie. Ces issues sont équiprobables, je vais pouvoir utiliser la formule des probabilités qui s'affiche là. La probabilité qu'il fasse exactement deux fois pile, c'est le nombre de cas favorables sur le nombre de cas possibles. Alors, quel est le nombre de cas possibles ? On compte : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Donc, il y a 8 cas possibles. Quel est le nombre de cas favorables, c'est-à-dire le nombre de cas où il a fait exactement deux fois pile ? On compte : il a fait trois fois pile, donc ça ne marche pas. Il a fait pile, pile, face, donc celui-là c'est bon. Il a fait une fois pile, donc ça ne marche pas. Il a fait deux fois pile, donc c'est bon. Il a fait une fois pile, donc ça ne marche pas. Donc, le nombre de cas où il a fait exactement deux fois pile est de 3. Donc, la probabilité est de \( \frac{3}{8} \). Et vous voyez, c'est simple, c'est joli. On fait un petit tableau, on a le nombre de cas possibles en comptant, on a le nombre de cas favorables en regardant ce qui nous intéresse, on encadre, on prend un point en ayant bien pris soin d'écrire avant que les événements sont équiprobables. Maintenant, à vous de jouer. Vous avez des petits exercices en dessous. Allez, entraînez-vous, vous êtes les meilleurs. J'ai confiance en vous.