Oui
Mécanique des fluides
2e loi de Newton
Sujet Bac Corrigé - Viscosimètre à chute de bille - Métropole 2025 Jour 1 - Ex 3 - Corrigé (Physique-chimie)
1 juin 2025
Terminale spécialité
🔬 Mesurer la viscosité d'une huile en chronométrant la chute d'une bille : c'est l'objet de l'exercice 3 du bac 2025 de physique-chimie en Métropole (jour 1), sur 5 points.
- Unités et forces : analyse dimensionnelle, force de frottement fluide, poussée d'Archimède.
- La vitesse limite : principe d'inertie, schéma des forces, calcul de la viscosité et accord avec la valeur de référence.
- La phase d'accélération : deuxième loi de Newton, équation différentielle et temps caractéristique.
Le sujet officiel et le corrigé détaillé sont gratuits en PDF, avec les pièges à éviter à chaque question.
Fiche de cours
Deuxième loi de Newton — Terminale spécialité physique-chimie
L'essentiel du cours, les formules et les méthodes utiles pour cet exercice, sur une page gratuite.
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Corrigé interactif · 9 questions
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Q1Montrer, par un raisonnement sur les unités, que la viscosité ηC s'exprime en N⋅m−2⋅s.
Données utiles f=−α⋅ηC⋅v⋅k ; α est homogène à une distance
Indice Pour trouver l'unité d'une grandeur : l'isoler dans une relation connue, remplacer chaque grandeur par son unité, puis simplifier comme dans un calcul littéral.
La valeur de la force de frottement est f=α⋅ηC⋅v, d'où ηC=α⋅vf.
Or f est en N, α en m et v en m⋅s−1 :
uniteˊ de ηC=m×m⋅s−1N=m2N⋅s
ηC s'exprime bien en N⋅m−2⋅s.
Tu avais trouvé ?
Q2Préciser, en justifiant, si la valeur de la force de frottement augmente ou diminue quand la vitesse de la bille augmente.
La valeur de la force de frottement est f=α⋅ηC⋅v, où α et ηC sont des constantes positives : f est proportionnelle à v.
Quand la vitesse de la bille augmente, la valeur de f augmente. Tu avais trouvé ?
Q3Représenter sur un schéma, sans calcul et en justifiant, les forces appliquées au système {bille} lorsque la vitesse limite est atteinte.
Une fois la vitesse limite atteinte, le mouvement de la bille est rectiligne uniforme dans le référentiel terrestre galiléen. D'après le principe d'inertie, les forces se compensent :
P+PA+f=0
- le poids P est vertical, vers le bas (sens de k) ;
- la poussée d'Archimède PA et la force de frottement f sont de sens opposé à k : verticales, vers le haut.
Sur le schéma, les trois forces partent du centre de la bille et la longueur de P est égale à la somme des longueurs de PA et de f. Forces sur la bille à la vitesse limite : P=PA+f (flèches du haut légèrement écartées pour la lisibilité)Tu avais trouvé ?
Q4Montrer que la vitesse limite vérifie α⋅ηC⋅vlim=34⋅π⋅r3⋅g⋅(ρb−ρh).
Données utiles Vb=34⋅π⋅r3 ; PA=−ρh⋅Vb⋅g⋅k
À la vitesse limite : P+PA+f=0 (Q3). En projection sur l'axe (Oz), orienté vers le bas :
m⋅g−ρh⋅Vb⋅g−α⋅ηC⋅vlim=0
La masse de la bille est m=ρb⋅Vb, donc :
α⋅ηC⋅vlim=ρb⋅Vb⋅g−ρh⋅Vb⋅g=Vb⋅g⋅(ρb−ρh)
Avec Vb=34⋅π⋅r3 :
α⋅ηC⋅vlim=34⋅π⋅r3⋅g⋅(ρb−ρh)
Tu avais trouvé ?
Q5Calculer la valeur de la viscosité ηC de l'huile C.
Données utiles vlim=5,37 mm⋅s−1 ; r=0,993 mm ; g=9,81 m⋅s−2 ; ρb=1,06×103 kg⋅m−3 ; ρh=8,31×102 kg⋅m−3 ; α=1,92×10−2 m
D'après la relation de Q4 :
ηC=3⋅α⋅vlim4⋅π⋅r3⋅g⋅(ρb−ρh)
ηC=3×1,92×10−2×5,37×10−34×π×(0,993×10−3)3×9,81×(1,06×103−8,31×102)
ηC=8,9×10−2 N⋅m−2⋅s
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Q6Déterminer si la valeur de ηC obtenue expérimentalement est en accord avec la valeur de référence.
Données utiles ηreˊf=0,093 N⋅m−2⋅s ; u(ηC)=0,003 N⋅m−2⋅s ; ηC=0,089 N⋅m−2⋅s (Q5)
Indice Critère usuel : quotient inférieur ou égal à 2, la mesure est compatible avec la référence ; au-delà, elle ne l'est pas. Toujours écrire la comparaison à 2 avant de conclure.
On calcule le quotient proposé par l'énoncé :
u(ηC)∣ηC−ηreˊf∣=0,003∣0,089−0,093∣=1,3
Ce quotient est inférieur à 2 : l'écart à la référence représente à peine plus d'une incertitude-type.
Quotient =1,3<2 : la valeur mesurée est en accord avec la valeur de référence.
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Q7À l'aide de la deuxième loi de Newton, montrer que a=g⋅(1−mρh⋅Vb)−mα⋅ηC⋅v.
Système {bille}, de masse m constante ; référentiel terrestre supposé galiléen ; forces : P, PA et f.
Deuxième loi de Newton : P+PA+f=m⋅a, soit
m⋅g⋅k−ρh⋅Vb⋅g⋅k−α⋅ηC⋅v⋅k=m⋅a⋅k
En projection sur (Oz) : m⋅a=m⋅g−ρh⋅Vb⋅g−α⋅ηC⋅v.
On divise par m et on factorise g :
a=g⋅(1−mρh⋅Vb)−mα⋅ηC⋅v
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Q8En déduire que la vitesse obéit à l'équation différentielle dtdv+4⋅ρb⋅π⋅r33α⋅ηC⋅v=g⋅(1−ρbρh).
Le mouvement a lieu selon (Oz) : a=dtdv. De plus m=ρb⋅Vb, donc la relation de Q7 devient :
dtdv=g⋅(1−ρb⋅Vbρh⋅Vb)−ρb⋅Vbα⋅ηC⋅v=g⋅(1−ρbρh)−ρb⋅Vbα⋅ηC⋅v
Avec Vb=34⋅π⋅r3 : ρb⋅Vbα⋅ηC=4⋅ρb⋅π⋅r33α⋅ηC
En regroupant les termes en v dans le membre de gauche :
dtdv+4⋅ρb⋅π⋅r33α⋅ηC⋅v=g⋅(1−ρbρh)
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Q9Calculer τ avec la viscosité de référence, puis justifier que la vitesse de la bille est pratiquement égale à sa valeur limite durant tout le mouvement, le tube mesurant environ 15 cm.
Données utiles τ=3⋅α⋅ηC4⋅ρb⋅π⋅r3 ; ηreˊf=0,093 N⋅m−2⋅s ; vlim=5,37 mm⋅s−1 ; H≈15 cm
Indice « Justifier qu'on peut négliger » : comparer deux grandeurs de même nature par un rapport. Ici deux durées ; on peut aussi comparer la distance parcourue en 5τ (moins de 0,07 mm) aux 15 cm du tube.
τ=3×1,92×10−2×0,0934×1,06×103×π×(0,993×10−3)3=2,4×10−3 s
La vitesse limite est pratiquement atteinte au bout de 5τ=5×2,4×10−3=1,2×10−2 s.
À la vitesse limite, la bille parcourt la hauteur du tube en :
Δt=vlimH=5,37×10−30,15=28 s
La phase d'accélération (0,012 s) est environ 2 000 fois plus courte que la chute (28 s).
τ=2,4×10−3 s ; 5τ≪Δt : la bille est pratiquement à vlim pendant toute la chute.
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Viscosimètre à chute de bille : un exercice de mécanique sur 5 points
Le troisième exercice du bac 2025 de physique-chimie en Métropole (jour 1) vaut 5 points, soit environ 53 minutes. Il étudie un viscosimètre : une bille tombe dans un tube rempli d'huile, et la mesure de sa vitesse limite permet de déterminer la viscosité de l'huile. Les 9 questions croisent analyse dimensionnelle, bilan des forces, principe d'inertie, deuxième loi de Newton et équation différentielle du premier ordre, avec une comparaison à une valeur de référence.
Unités et force de frottement (Q1 et Q2)
Pour montrer que la viscosité s'exprime en N·m-2·s, on l'isole dans l'expression de la force de frottement, f = α·ηC·v, puis on remplace chaque grandeur par son unité : le newton pour f, le mètre pour α, le mètre par seconde pour v. La deuxième question est immédiate : la force de frottement est proportionnelle à la vitesse, elle augmente donc quand la bille accélère.
La vitesse limite (Q3 à Q6)
Une fois la vitesse limite atteinte, le mouvement est rectiligne uniforme : d'après le principe d'inertie, le poids, la poussée d'Archimède et la force de frottement se compensent. Sur le schéma, la flèche du poids doit être aussi longue que les deux flèches dirigées vers le haut mises bout à bout. La projection de cette somme nulle sur l'axe vertical donne la relation demandée en Q4. Le piège est de confondre les masses volumiques : celle de la bille intervient dans le poids, celle de l'huile dans la poussée d'Archimède.
Le calcul de la viscosité donne ηC = 8,9 × 10-2 N·m-2·s. Il faut convertir le rayon et la vitesse limite, donnés en millimètres : le rayon étant au cube, l'oubli de la conversion fausse le résultat d'un facteur 109. La comparaison avec la valeur de référence, 0,093 N·m-2·s, avec une incertitude-type de 0,003, conduit à un quotient de 1,3, inférieur à 2 : la mesure est en accord avec la référence.
La phase d'accélération (Q7 à Q9)
Pendant la phase d'accélération, les forces ne se compensent plus : il faut écrire la deuxième loi de Newton, en précisant le système, le référentiel terrestre supposé galiléen et le bilan des forces, car ces éléments de rédaction rapportent des points. Reprendre la somme nulle de Q3 serait une faute. En remplaçant l'accélération par dv/dt et la masse par ρb·Vb, on obtient une équation différentielle du premier ordre dont le coefficient de v est l'inverse du temps caractéristique τ.
La dernière question demande de calculer τ avec la viscosité de référence : τ = 2,4 × 10-3 s. La vitesse limite est pratiquement atteinte au bout de 5τ, soit 0,012 s, alors que la bille met environ 28 s pour parcourir les 15 cm du tube. La phase d'accélération est environ 2 000 fois plus courte que la chute : la bille se déplace à sa vitesse limite pendant pratiquement tout le mouvement.
Conseils
Cet exercice est très guidé : chaque question donne la relation à établir, ce qui permet de continuer même en cas de blocage. Les points se gagnent sur la rigueur des projections, les conversions d'unités et la justification par comparaison de deux durées quand on demande de montrer qu'un effet est négligeable.