Un exercice long qui traverse la mécanique et la thermodynamique

L'exercice 1 du bac Métropole Septembre 2026 Jour 1 pèse 11 points, plus de la moitié de l'épreuve : il faut compter près de deux heures. Il suit un pyroclaste éjecté par un volcan. On teste d'abord le modèle de la chute libre, on le rejette, on introduit la poussée des gaz, puis on étudie le refroidissement d'une pierre ponce. Les questions s'enchaînent : beaucoup réutilisent un résultat précédent, il faut donc garder les valeurs non arrondies.

Partie 1 : la chute libre mise en défaut

Questions 1 à 5 : énergie mécanique et altitude maximale

Le poids étant la seule force, l'énergie mécanique se conserve entre O et le sommet S. On en tire h = (v₀² − v_S²)/(2g). Le piège classique est d'écrire v_S = 0 : seule la composante verticale s'annule au sommet, le pyroclaste garde sa vitesse horizontale, voisine de 1 m·s^-1. Pour v₀, le corrigé conseille de prendre l'ordonnée à l'origine de la droite modèle v_y = −2,7t + 12,8 plutôt qu'un point expérimental, ce qui donne v₀ ≈ 13 m·s^-1 puis h = 8,4 m.

Question 6 : confronter le modèle à la photographie

Avec l'échelle de la figure 2 (1,0 cm pour 16 m), le sommet observé est vers 51 m, environ six fois plus haut que prévu. Une phrase du type « c'est différent » ne suffit pas : il faut mesurer, convertir, comparer deux valeurs chiffrées, puis rejeter le modèle.

Partie 2 : la poussée des gaz

Questions 7 à 9 : deuxième loi de Newton

Avec le poids et la poussée F verticale, on obtient a_x = 0 et a_y = F/m − g. Attention au signe du poids, l'axe vertical étant orienté vers le haut. Les primitives, puis les conditions initiales, donnent v_x constante et v_y affine. Par identification du coefficient directeur −2,7 m·s^-2, on trouve F = m(g − 2,7) ≈ 24 N. Une erreur de signe conduit à 43 N.

Questions 10 et 11 : le gaz parfait

En écrivant n = m/M, l'équation d'état devient PM = ρRT. Le piège majeur est de laisser M en g·mol^-1 : il faut M = 22 × 10^-3 kg·mol^-1, d'où ρ ≈ 0,177 kg·m^-3 et une accélération d'environ 41 m·s^-2, soit près de 4g. Commenter, c'est donner le signe, l'ordre de grandeur et le lien avec la situation.

Partie 3 : le refroidissement de la pierre ponce

Questions 12 à 15 : de l'équation différentielle à la solution

Le premier principe donne mcΔθ = φΔt. Avec la loi de Newton, on obtient l'équation différentielle de constante de temps τ = mc/(hS). La phrase « Δt tend vers zéro » fait partie de la démonstration. L'analyse dimensionnelle montre que τ s'exprime en J/W, donc en secondes. Les conditions en t = 0 et à l'infini donnent A = θ₀ − θ_amb et B = θ_amb.

Questions 16 et 17 : exploiter la droite

Le coefficient directeur de la droite ln(θ − θ_amb) vaut −1/τ. Avec deux points éloignés de la droite modèle, on trouve τ ≈ 2,3 × 10² s, puis h ≈ 13 W·K^-1·m^-2, valeur cohérente avec un léger courant d'air.

Conseils pour cet exercice

Gérez votre temps : cet exercice vaut 11 points, il mérite la plus grande part de l'épreuve. Rédigez chaque démonstration en trois temps, vérifiez les signes et travaillez toujours en unités SI.