Voir le schéma : ${\vec{u}}_T$ est tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement ; ${\vec{u}}_N$ est perpendiculaire à ${\vec{u}}_T$ et dirigé vers le centre T de la trajectoire.

La distance entre le centre de la Terre et le satellite est $d_{TS}=R_T+h$. La force d'interaction gravitationnelle est attractive, dirigée de S vers T, donc selon $+{\vec{u}}_N$ :

$\vec{F}$ a pour point d'application S ; elle est portée par la droite (ST) et dirigée vers T, comme ${\vec{u}}_N$.

Système : {satellite}, de masse $m$ constante. Référentiel : géocentrique, supposé galiléen. Seule force : $\vec{F}$.

Deuxième loi de Newton : $\sum {\vec{F}}_{\text{ext}}=m\vec{a}$, soit

$$G\frac{m{M}_T}{(R_T+h{)}^2}{\vec{u}}_N=m\vec{a}$$

En simplifiant par $m$ :

Pour un mouvement circulaire de rayon $R_T+h$, dans le repère de Frenet :

$$\vec{a}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}{\vec{u}}_T+\frac{v^2}{R_T+h}{\vec{u}}_N$$

Par identification avec l'expression de Q4 :

• selon ${\vec{u}}_T$ : $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=0$, donc la valeur de la vitesse est constante : le mouvement est uniforme ;
• selon ${\vec{u}}_N$ : $\frac{v^2}{R_T+h}=\frac{G{M}_T}{(R_T+h{)}^2}$, soit $v^2=\frac{G{M}_T}{R_T+h}$.

La période $T$ est la durée d'un tour. À vitesse constante, le satellite parcourt le périmètre $2\pi (R_T+h)$ de l'orbite pendant $T$ :

$$T=\frac{2\pi (R_T+h)}{v}=2\pi (R_T+h)\sqrt{\frac{R_T+h}{G{M}_T}}$$

Comme $(R_T+h)=\sqrt{(R_T+h{)}^2}$ :

$R_T+h=6371+490=6861\text{km}=6,861\times 10^6\text{m}$

$$T=2\pi \sqrt{\frac{(6,861\times 10^6{)}^3}{6,674\times 10^{-11}\times 5,972\times 10^{24}}}$$

En chaque position :

• ${\vec{F}}_1$ part du satellite et pointe vers le centre T de la Terre ;
• ${\vec{F}}_2$ part du satellite et pointe vers l'objet M (force attractive) ;
• $\vec{v}$ est tangente à la trajectoire, dans le sens du mouvement (sens $+$).

En B, le point M est sur le segment [TB] : ${\vec{F}}_1$ et ${\vec{F}}_2$ ont la même direction et le même sens.

La trajectoire est un cercle de centre T. En tout point, ${\vec{F}}_1$ est dirigée selon le rayon, vers T, alors que le déplacement, de même direction que $\vec{v}$, est tangent au cercle. La force ${\vec{F}}_1$ est donc perpendiculaire au déplacement à chaque instant : son travail est nul sur chaque petite portion de la trajectoire.

Le signe du travail est celui de $\cos \alpha$, où $\alpha$ est l'angle entre ${\vec{F}}_2$ et le déplacement (de même sens que $\vec{v}$).

• Entre A et B, le satellite se rapproche de M : ${\vec{F}}_2$ pointe vers l'avant, l'angle $\alpha$ est aigu, $\cos \alpha >0$. Le travail est positif (moteur).
• Entre B et C, le satellite s'éloigne de M : ${\vec{F}}_2$ pointe vers l'arrière, l'angle $\alpha$ est obtus, $\cos \alpha <0$. Le travail est négatif (résistant).

En B, ${\vec{F}}_2$ est perpendiculaire à $\vec{v}$ : le travail change de signe.

Théorème de l'énergie cinétique appliqué au satellite, dans le référentiel géocentrique, entre deux positions 1 et 2 :

$$\frac{1}{2}m{v}_2^2-\frac{1}{2}m{v}_1^2=W({\vec{F}}_1)+W({\vec{F}}_2)=W({\vec{F}}_2)$$

puisque le travail de ${\vec{F}}_1$ est nul (Q9).

• De A à B : $W({\vec{F}}_2)>0$, l'énergie cinétique augmente, donc $v$ augmente.
• De B à C : $W({\vec{F}}_2)<0$, l'énergie cinétique diminue, donc $v$ diminue.

$$\nu =\frac{c}{\lambda }=\frac{3,00\times 10^8}{10^{-2}}=3\times 10^{10}\text{Hz}$$

Cette fréquence est comprise entre $3\times 10^9$ Hz et $3\times 10^{11}$ Hz.

Les deux satellites suivent la même trajectoire l'un derrière l'autre : chacun voit sa vitesse augmenter puis diminuer au passage de l'objet (Q11), mais le satellite de tête (sat 1) y passe avant l'autre. Les deux pics de vitesse sont donc décalés dans le temps : la proposition (3) est éliminée.

Quand le satellite de tête accélère, le second a encore sa vitesse habituelle : $v_1>v_2$, la distance augmente. Ensuite $v_2>v_1$ : le second rattrape son retard et la distance diminue, jusqu'à retrouver sa valeur initiale. La distance passe donc par un maximum, ce qui élimine la proposition (1).

Les forces ${\vec{F}}_1$ et ${\vec{F}}_2$ sont toutes deux proportionnelles à la masse $m$ du satellite. Dans la deuxième loi de Newton, $m\vec{a}={\vec{F}}_1+{\vec{F}}_2$, la masse $m$ se simplifie : l'accélération, donc la vitesse et ses variations, ne dépendent pas de la masse du satellite (comme l'expression de $v$ à la question Q5).

L'eau de fonte s'écoule vers l'océan : la masse de l'Antarctique diminue au fil des années.

La force ${\vec{F}}_2$ exercée sur chaque satellite est proportionnelle à la masse de l'objet survolé : elle diminue, son travail aussi. Les variations de vitesse des satellites au passage sont plus faibles, et l'écart qui se creuse entre eux également.