La mécanique du vol d'un ballon sonde

Cet exercice de 6,5 points du bac 2004 en Métropole suit un ballon sonde en caoutchouc gonflé à l'hélium, qui emporte une nacelle de matériel scientifique. Il mobilise la deuxième loi de Newton, la poussée d'Archimède, une force de frottement proportionnelle au carré de la vitesse et la méthode d'Euler. Une dernière partie étudie comment le poids et la poussée d'Archimède évoluent avec l'altitude.

Le décollage : forces et condition d'ascension

Juste après le décollage, le système {ballon + nacelle} subit trois forces verticales : son poids vers le bas, la poussée d'Archimède vers le haut et la force de frottement de l'air, opposée au mouvement, donc vers le bas. La poussée d'Archimède a pour valeur F_A = ρ V_b g, où ρ est la masse volumique de l'air déplacé. La deuxième loi de Newton s'écrit P + F_A + f = M a. Au décollage la vitesse est nulle, donc le frottement aussi : le ballon s'élève si l'accélération est verticale vers le haut, ce qui conduit à la condition M < ρ V_b. Avec ρ = 1,22 kg·m⁻³ et V_b = 9,0 m³, en retirant la masse du ballon et celle de la nacelle, la masse de matériel doit rester inférieure à 8,4 kg environ.

L'ascension : équation différentielle et méthode d'Euler

En projetant la deuxième loi de Newton sur un axe vertical orienté vers le haut, on obtient l'équation différentielle dv/dt = A v² + B, avec A = −Kρ/M et B = (ρV_b − M)g/M. Pour une masse embarquée de 2,0 kg, l'énoncé donne A = −0,53 m⁻¹ et B = 13,6 m·s⁻². La méthode d'Euler, avec un pas de 0,05 s, se déroule ligne par ligne : la vitesse donne l'accélération par l'équation différentielle, l'accélération donne la variation de vitesse, et celle-ci donne la vitesse suivante. On obtient v1 = 0,68 m·s⁻¹ puis v2 = 1,35 m·s⁻¹, avec une accélération recalculée de 13,4 m·s⁻² à la date t1.

La vitesse limite est atteinte quand dv/dt = 0, soit v_ℓ = √(−B/A) = 5,1 m·s⁻¹. Le graphique obtenu par la méthode d'Euler présente un palier vers 5,0 m·s⁻¹ : les deux valeurs sont cohérentes.

Le poids et la poussée d'Archimède en altitude

Le tableau des valeurs de g entre 0 et 9000 m donne un écart relatif de 2,8 × 10⁻³, soit 0,28 % : la pesanteur peut être considérée comme constante à moins de 1 % près. Pour la poussée d'Archimède, g reste pratiquement constante, la masse volumique de l'air diminue de 1,22 à 0,46 kg·m⁻³, mais le volume du ballon augmente puisqu'il grossit en montant. Un facteur diminue, un autre augmente : on ne peut pas conclure, c'est la proposition d.

Les pièges à éviter

Le frottement est opposé à la vitesse : pour un ballon qui monte, il est dirigé vers le bas. La masse volumique dans la poussée d'Archimède est celle de l'air déplacé, pas celle de l'hélium. Dans la méthode d'Euler, l'accélération doit être recalculée à chaque pas avec la nouvelle vitesse. Pour la dernière question, répondre que la poussée diminue en ne regardant que la ligne ρ du tableau est une erreur : le volume du ballon n'est constant qu'à faible altitude.

Conseils pour réussir

Faites un schéma des forces avant toute projection et précisez l'orientation de l'axe. Gardez les expressions littérales de A et B jusqu'au bout, puis vérifiez leurs signes : A négatif traduit le frottement qui freine, B positif l'accélération initiale vers le haut. Cet exercice est un modèle de résolution numérique d'une équation différentielle.