Une épreuve sans calculatrice, entre physique et chimie

Le sujet du bac S de Nouvelle-Calédonie, session 2006, relève de l'ancien programme. L'épreuve dure 3 h 30 et la calculatrice n'y est pas autorisée : les valeurs numériques ont été choisies pour se traiter à la main, et des aides au calcul sont fournies quand c'est nécessaire. Le candidat traite trois exercices obligatoires indépendants, un séisme dans le Jura (5,5 points), un exercice de chimie sur le savon et le parfum (6,5 points) et l'évolution énergétique d'un circuit RLC série (4 points). Les candidats de spécialité traitent en plus un exercice de 4 points sur la transmission d'un signal modulé en amplitude. Sur notre corrigé, les exercices sont regroupés par thème : séisme, circuit RLC, savon et parfum, puis spécialité.

Ce sujet est un bon entraînement pour les élèves d'aujourd'hui : la lecture de documents, la loi des mailles, la charge d'un condensateur, l'estérification, le dosage et la cinétique restent des incontournables. Certaines notions, comme la bobine, les oscillations électriques, l'oscillateur solide-ressort ou la modulation, ne figurent plus au programme actuel de spécialité ; les corrigés le signalent au passage, sans que cela empêche de s'exercer sur les raisonnements.

Exercice 1 : un séisme dans le Jura

Lire un sismogramme

Le premier exercice part d'un séisme réel, survenu près de Roulans dans le Doubs le 23 février 2004. Les ondes P, plus rapides (6,0 km/s), arrivent avant les ondes S (3,5 km/s) : le premier train d'ondes du sismogramme correspond donc aux ondes P. Pour relever les dates d'arrivée, il faut remarquer qu'une graduation sur deux seulement est chiffrée : l'écart entre deux traits vaut 5 s. On lit t_P = 18 h 31 min 15 s et t_S = 18 h 31 min 20 s.

Calculer la distance au foyer

Chaque onde parcourt la même distance d depuis la même date d'émission t₀, inconnue. En écrivant les deux durées de parcours puis en les soustrayant, t₀ disparaît et l'on retrouve d = v_S v_P/(v_P − v_S) × (t_S − t_P). L'application numérique, simplifiée à la main, donne d = 42 km.

Le sismomètre, oscillateur solide-ressort

Le solide est soumis à son poids, à la réaction du support et à la force de rappel du ressort F = −k x. La deuxième loi de Newton projetée sur l'axe horizontal donne d²x/dt² + (k/m) x = 0. L'analyse dimensionnelle montre que 2π√(m/k) est homogène à une durée. Lors d'un séisme, le sol joue le rôle d'excitateur et le système solide-ressort celui de résonateur ; la résonance se produit quand la période des ondes est égale à la période propre. La période des ondes est de l'ordre de 0,1 s, ce qui conduit à une masse d'environ 25 g. Pour enregistrer des ondes de période plus grande, il faut augmenter la masse.

Le questionnaire final

Les ondes sismiques se propagent dans toutes les directions, sans transport de matière ; une onde longitudinale a une perturbation parallèle à la direction de propagation ; la longueur d'onde d'une onde P de période 0,2 s vaut 1,2 km ; les célérités sont des moyennes car elles dépendent des milieux traversés.

Exercice 2 : évolution énergétique d'un circuit RLC série

La charge du condensateur

Le circuit associe un générateur de 4,0 V, une résistance réglable, un condensateur de 2,0 µF et une bobine. Les premières questions demandent de placer les flèches des tensions : la flèche de u_AB pointe vers A. L'armature A, reliée au pôle positif, porte une charge positive, avec q = C u_AB et i = dq/dt. La loi des mailles et la loi d'Ohm, avec le bon signe pour u_DB = −R i, conduisent à RC du_AB/dt + u_AB = E. On vérifie ensuite que u_AB(t) = E(1 − e^−t/(RC)) en est solution.

Énergies électrique et magnétique

L'énergie électrique maximale vaut ½ C E² = 1,6 × 10⁻⁵ J, soit 16 µJ, à condition de convertir la capacité en farads. L'énergie magnétique ½ L i² s'exprime à partir de la tension aux bornes de la résistance, proportionnelle à l'intensité. Pour identifier les trois courbes d'énergie, la méthode la plus sûre est de regarder l'instant initial : le condensateur est chargé et aucun courant ne circule. La courbe qui part de zéro est l'énergie magnétique, celle qui part de son maximum en oscillant est l'énergie électrique, et l'enveloppe est l'énergie totale, qui décroît par effet Joule.

Les oscillations entretenues

Un dispositif d'entretien compense l'énergie dissipée : l'énergie totale devient constante et l'amplitude des oscillations ne diminue plus. Sur l'annexe, on trace une droite horizontale pour l'énergie totale et une courbe en opposition avec l'énergie magnétique pour l'énergie électrique.

Exercice 3 : savon et parfum

La saponification

Le savon d'Alep est obtenu en chauffant de l'huile d'olive avec de l'hydroxyde de sodium. L'oléine, un triester, réagit avec trois ions hydroxyde pour donner le glycérol et trois ions carboxylate. Le texte permet d'identifier la soude comme réactif en excès. Le relargage extrait le savon : très peu soluble dans l'eau salée, il se sépare de la phase aqueuse. L'ion carboxylate possède une chaîne carbonée hydrophobe et une tête −COO⁻ hydrophile.

L'estérification et son suivi

Le butanoate de pentyle provient de l'acide butanoïque et du pentan-1-ol ; l'estérification est lente et limitée. Avec 0,17 mol de chaque réactif, le mélange est équimolaire. Les ampoules sont refroidies dans l'eau glacée pour bloquer la réaction avant le dosage. Le dosage par la soude consomme à la fois les ions oxonium du catalyseur et l'acide restant, ce qui conduit à l'expression de l'avancement x(t) et à x₆₀ ≈ 1,3 × 10⁻² mol.

Quatre propositions à justifier

Éliminer l'eau favorise la formation de l'ester : vrai. La vitesse volumique diminue au cours du temps : la proposition qui affirme le contraire est fausse. Le temps de demi-réaction se lit à la moitié de l'avancement final, vers 20 min et non 100 min : faux. Une température plus élevée accélère la transformation sans modifier l'avancement final : vrai.

Spécialité : transmission d'un signal modulé en amplitude

Pourquoi moduler

Un signal sonore transmis directement aurait une longueur d'onde comprise entre 1,5 × 10⁴ m et 1,5 × 10⁷ m, ce qui exigerait des antennes gigantesques. On module donc l'amplitude d'une porteuse de fréquence élevée. Le coefficient du multiplieur s'exprime en V⁻¹, et une bonne modulation exige un taux de modulation inférieur ou égal à 1.

Lire l'oscillogramme

Les lectures S_M = 1,7 V et S_m = 0,6 V donnent un taux de modulation voisin de 0,5. En comptant 20 périodes de porteuse sur 2,0 ms, on vérifie f_P = 10 kHz.

Réception et démodulation

Le circuit L₀C₀ s'accorde sur la porteuse : C₀ = 0,10 µF. Le détecteur de crête exige une constante de temps très supérieure à la période de la porteuse et inférieure à celle du signal modulant : seule la résistance de 2,0 kΩ convient. La dernière partie du montage supprime la composante continue pour restituer le signal de 500 Hz.

Les erreurs qui coûtent des points

Plusieurs pièges reviennent d'un exercice à l'autre. Le premier concerne la lecture des axes : sur le sismogramme comme sur l'oscillogramme, il faut déterminer la valeur d'une division avant de lire quoi que ce soit. Le deuxième touche aux conversions : capacité en farads, inductance en henrys, volume équivalent en litres, célérité en mètres par seconde. Une seule conversion oubliée suffit à rendre un résultat faux de plusieurs puissances de dix.

Le troisième piège est celui des signes. La force de rappel du ressort s'écrit avec un signe moins ; la tension u_DB aux bornes de la résistance vaut −R i avec l'orientation choisie ; dans l'expression de l'avancement, retrancher une parenthèse change le signe de chaque terme. Prendre le temps d'écrire les relations littérales avant de remplacer permet de repérer ces erreurs.

Enfin, les questions de justification demandent une phrase appuyée sur une définition : temps de demi-réaction défini à partir de l'avancement final, résonance définie par l'égalité des périodes, onde longitudinale définie par la direction de la perturbation. Une réponse vraie sans justification rapporte peu. Les corrigés détaillés indiquent, pour chaque question, ce qu'il faut écrire sur la copie pour obtenir tous les points.

Gérer son temps

La durée conseillée suit le barème : environ 1 h 05 pour le séisme, 52 min pour le circuit RLC, 1 h 18 pour la chimie et 52 min pour la spécialité. Sans calculatrice, il est utile de simplifier les fractions avant de calculer et de vérifier les ordres de grandeur. Commencez par l'exercice où vous vous sentez le plus à l'aise, et n'oubliez pas de rendre les annexes complétées avec votre copie : plusieurs questions se répondent directement dessus.

Conclusion

Ce sujet de 2006 couvre un large éventail de compétences : lecture de documents, mise en équation d'un oscillateur, conventions électriques, synthèse organique, dosage et cinétique, traitement du signal. Traitez-le en temps limité, puis reprenez chaque question avec le corrigé détaillé : les remarques sur les pièges et les méthodes vous aideront à repérer les erreurs qui coûtent des points le jour de l'épreuve.