Chute d'une bille dans la glycérine : viscosité et méthode d'Euler

Cet exercice de 5,5 points, prévu pour environ 1 h 05, est un grand classique de mécanique. Une bille d'acier de rayon 5,00 mm est lâchée sans vitesse dans un tube de glycérine. La première partie mesure la viscosité du liquide avec un viscosimètre à chute de bille ; la seconde établit l'équation différentielle du mouvement et la résout pas à pas par la méthode d'Euler.

Forces et vitesse limite

Trois forces verticales s'exercent sur la bille : le poids P = ρVg vers le bas, la poussée d'Archimède P_A = ρ₀Vg vers le haut et le frottement fluide, opposé à la vitesse, donc vers le haut. Le piège classique est d'utiliser la masse volumique de l'acier dans la poussée d'Archimède : c'est le liquide déplacé qui compte. Entre les repères R₁ et R₂, la vitesse limite est atteinte : le mouvement est rectiligne uniforme et, d'après le principe d'inertie, la somme vectorielle des forces est nulle.

Mesure de la viscosité

L'analyse dimensionnelle donne l'unité de η : kg·m^-1·s^-1, c'est-à-dire le pascal seconde. La projection de la relation vectorielle sur l'axe vertical, avec V = 4πr³/3, conduit à η = 2r²g(ρ − ρ₀)/(9v_lim). Il faut soigner les signes : P_A et le frottement ont des coordonnées négatives. Avec h = 40,0 cm et Δt' = 1,66 s, on obtient v_lim = 0,241 m·s^-1, puis η = 1,48 kg·m^-1·s^-1 à 20 °C. Oublier de convertir le rayon en mètres multiplierait le résultat par un million. L'écart relatif avec la valeur théorique 1,49 SI est de 0,7 % : la mesure est satisfaisante.

Étude théorique et méthode d'Euler

La deuxième loi de Newton, projetée puis divisée par ρV, donne dv/dt + Av = B avec A = 9η/(2ρr²) = 34,4 s^-1 et B = g(1 − ρ₀/ρ) = 8,23 m·s^-2. Quand la vitesse limite est atteinte, dv/dt = 0, d'où v_lim = B/A = 0,239 m·s^-1, en accord avec la mesure à 0,8 % près. Le rapport 1/A = 2,91 × 10^-2 s est le temps caractéristique τ du mouvement, et B représente l'accélération initiale, puisque la vitesse est nulle au départ.

Dans le tableau, le pas vaut Δt = 0,005 s. La méthode d'Euler donne v₆ = v₅ + a₅Δt = 0,162 m·s^-1, puis a₇ = B − Av₇ = 2,21 m·s^-2. Le piège est de mélanger les lignes : la vitesse se calcule avec l'accélération de la ligne précédente, l'accélération avec la vitesse de la même ligne.

Lecture graphique

Sur la figure 2, le régime transitoire précède le trait en pointillé et le régime permanent le suit. Le temps caractéristique se lit à l'abscisse du point d'ordonnée 0,63 v_lim, soit 0,15 m·s^-1 : τ ≈ 0,03 s, cohérent avec 1/A. Une autre méthode consiste à tracer la tangente à l'origine jusqu'à l'asymptote.

Conseils

Gardez trois chiffres significatifs, comme les données. Écrivez toujours la relation littérale avant l'application numérique, et vérifiez la cohérence entre la valeur mesurée et la valeur calculée : c'est souvent ce que l'énoncé attend dans les questions de comparaison.